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2的平方根
(數學常數)
鎖定
2的平方根歷史沿革
紙張尺寸在國際間最常使用的是ISO所制定的標準,在1922年通過,並將尺寸冠以編號例如A4、B5等等。此標準源自德國,定義了A、B、C三組紙張尺寸,C組紙張尺寸主要用於信封。另外,有些國家也有自己的標準,如美國、日本。在不同年代,全球各地也有當地通用的紙張尺寸。在書籍、卡片、信封以及日常書寫用紙上,使用統一的紙張尺寸大大提高了生活便利性。國際標準(ISO 216)
早在1786年,一位德國的科學家利希滕貝格(Georg Christoph Lichtenberg)就發現長寬比為
的矩形具有許多特點。在20世紀初期Walter Porstmann將此概念應用在一系列紙張尺寸的制定。隨着各國逐漸採用,後來此標準被定為國際標準(ISO 216)。此標準的特色是紙張尺寸的長寬比均為
(約為1.4142)。同系列但不同尺寸的紙張,其幾何比例相同,因此可以直接縮放影印而不會造成紙面圖案有邊緣裁切的問題。
A的制定基礎首先是求取一張長寬比為
且面積為1平方米(m²)的紙張。因此這張紙的寬長分別為841毫米和1189毫米(長寬比為
:1),並且編號為A0。若將A0紙張的長邊對切為二,則得到兩張A1的紙張,其寬長均為594毫米和841 毫米。依此方式繼續將A1紙張對切,則可以依序得到A2、A3、A4等等紙張尺寸。在制定標準時,尺寸均以整數為準,因此對切的紙張尺寸若帶有小數(小於1 毫米)則會舍入計算。
B系列的制定基礎首先是求取寬邊的長度為1米且面積為
平方米(m²)的紙張。因此這張紙的寬長分別為1000 毫米和1414毫米(長寬比為
:1),並將其編號為B0。若將B0紙張的長邊對切為二,則得到兩張B1的紙張,其寬長均為707毫米和1000 毫米。依此方式繼續將B1紙張對切,則可以依序得到B2、B3、B4等等紙張尺寸。和A系列相比,B系列的紙張面積是同號A系列的
倍,例如B4紙張面積是A4的
倍。
C系列的制定基礎是將A系列和B系列的尺寸作幾何平均而求得的。例如C4的紙張尺寸是A4和B4尺寸的幾何均,且紙張長寬比仍為
:1。這樣一來,C4的尺寸系介於A4和B4之間,A4的紙張可以裝入C4大小的信封袋中,而C4的紙張可以裝入B4大小的信封袋中。
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2的平方根數學性質
2的平方根十進制展開
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157...
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2的平方根相關證明
2的平方根間接證明
應用對於任意的整數p都成立的下列基本事實:
若對(4.4)兩邊平方,則得到
2的平方根存在性的構造證明
步驟1:證明對於
,有
。
這對於
是正確的。而且,對某個固定的
,從
以及(4.10),我們看出也有
。根據歸納法原理我們得到,對於
,有
。
步驟2:證明對於
,有
。
2 | 1 | |||
1.5 | 1.33 | |||
1.4166 | 1.4117 | |||
1.414215 | 1.414211 | |||
1.414213562 | 1.414213562 |
2的平方根連分數
2的平方根最佳有理逼近
設
。對於實數用有理數逼近的誤差,有估值
2的平方根三角函數
- 參考資料
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- 1. 埃伯哈德·蔡德勒.數學指南:實用數學手冊.北京:科學出版社,2012年:15-881
- 2. Solve sec(45) .Microsoft Math Solver[引用日期2022-08-25]
- 3. Solve csc(45) .Microsoft Math Solver[引用日期2022-08-25]
- 4. 國際標準紙張尺寸簡介 .osgeo中國中心[引用日期2022-08-31]
- 5. A001333 .OEIS[引用日期2022-09-05]
- 6. A000129 .OEIS[引用日期2022-09-05]
- 7. A002193 .OEIS[引用日期2022-12-20]
- 8. A010767 .OEIS[引用日期2022-12-20]