馬爾薩斯模型

馬爾薩斯的人口理論的主要觀點、歷史背景在詞條 “馬爾薩斯主義” 中有較為詳細的闡述。本詞條主要從數學模型的角度去論述。馬爾薩斯的人口論指出：在沒有生存資源限制的情況下，人口或生物種羣的數量成指數增長。例如：用一個公比為 2 的等比數列的模型，人口的增長規律是

1，2，4，8，16，32，64，128，256，……

而用斐波那契數列的模型（公比為黃金分割比 (1+√5)/2 ≈ 1.618），人口的增長規律是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……

這些模型的共同特徵是人口數量在單位時間內增長的百分比 r 是一定的。寫成一個微分方程的形式，設 t = 0 時刻的人口數量為 N₀，則 t 時刻的總人口 N_t 滿足

馬爾薩斯認為，人口長期不受控制的指數增長的速度十分驚人，生存資源的增長速度將無法滿足眾多人口的生存需要，從而產生一系列人口問題，嚴重時甚至會爆發饑荒、戰爭和疾病來除去資源與環境無法承受的過剩人口。

馬爾薩斯人口論自其提出以來，就一直是一個備受爭議的理論。例如：在資源環境的限制下，人口還能否做指數爆炸式的增長呢？假設資源環境能承受的人口數量為 K，則可以建立一個邏輯斯諦方程

這個方程將得出僅在人口 N_t ＜＜ K 時，增長 N_t ～ N₀ e^rt 才是指數的。當 N_t 接近 K 時，人口的增長明顯受到天花板 K 的壓制。雖然 N_t ＞ K 時確實會出現人口的負增長，但不過是平穩地趨近於平衡水平 K，而並不會發生馬爾薩斯所擔心的災難性人口鋭減的行為。右圖給出了 K 隨時間緩慢線性增加時，人口 N_t 從不同的初條件 N₀ 以不同的生育率 r 增長的數值模擬結果。最終人口 N_t 都達到了跟隨 K（灰線）的線性增加行為。

那麼是不是説由於生存資源 K 的算術級增長，人口 N_t 實際上並不能長期持續地指數增長，而是也會適應 K 變為算術級增長，所以馬爾薩斯其實在杞人憂天地擔心一個偽命題？

出現以上問題的關鍵在於 Logistic 模型雖然考慮了資源環境對人口增長的制約因素，但忽略了人口動力學本身具有很大的延遲性。例如環境資源充沛時，生育率較高，但新生出來的孩子並不會像成人一樣消耗很多生存資源。而等到這些過度生育的孩子都長大以後，生存資源才開始不堪承負。如果在 Logistic 方程的基礎上增加一個時間延遲的效應，則有

以上方程稱作延遲 Logistic 模型 (delayed Logistic model)。對以上方程做數值模擬，固定延遲時間 τ（代表一代人的時間），仍令資源 K （灰線）隨時間緩慢線性增加，從相同的初條件 N₀＜＜K 按不同的生育率 r 演化，得到的結果如右圖1。發現僅在生育率 r 較小的時候（藍線），人口增長的行為接近於無延遲的 Logistic 模型給出的結果，跟隨資源 K 做線性增長。而當生育率 r 提高以後，人口的增長出現振盪（綠線、黃線），但振幅逐漸衰減。進一步提高生育率 r 將導致振幅越來越大（紅線），人口的演化陷入了過度生育和大量死亡的怪圈，與馬爾薩斯描述的情形相符。

可見，出現馬爾薩斯陷阱的一個重要因素是人口動力學的延遲性。這使得資源環境對人口增長的制約往往是滯後的。過度生育發生在先，而資源不足的後果要一代人以後才表現出來，導致了人口並不一定能適應資源的線性增長，而可能是週期性地過度增長和鋭減。需要有計劃的預防性人口政策才能擺脱馬爾薩斯陷阱，正確處理好人口與資源環境之間的關係。

需要指出的是，任何社會學理論都有其歷史的侷限性。馬爾薩斯的《人口論》也是如此。在馬爾薩斯的時代，貧困和温飽問題，過度生育和資源不足的問題，以及頻繁爆發的饑荒、戰爭和疾病不斷困擾着人們。而人類社會工業化、現代化以後，隨着人均 GDP 的不斷提高，人口出現的老齡化、少子化趨勢，成為了人口政策制定面對的新問題和新挑戰。特別是勞動力人口、工業人口，以及人口的受教育程度等因素如何影響科技進步和人口紅利的發揮，將改變人口、資源與發展之間的關係，因而需要新的理論和模型來指導實踐。