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相似矩陣
鎖定
相似矩陣定義
對進行運算稱為對進行相似變換,稱可逆矩陣為相似變換矩陣。
相似矩陣矩陣性質
對於
1.反身性:A~ A
2.對稱性:若A~ B,則 B~ A
3.傳遞性:若A~ B,B~ C,則A~ C
4.若A~ B,則r(A)=r(B),|A|=|B|,tr(A)=tr(B)。
5.若A~ B,且A可逆,則B也可逆,且B~ A。
6.若A~ B,則A與B
8.相似矩陣具有相同的可逆性,當它們可逆時,則它們的逆矩陣也相似。
相似矩陣定理
注: 定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法。
若矩陣可對角化,則可按下列步驟來實現:
1.求出全部的特徵值;
3.上面求出的特徵向量恰好為矩陣的各個線性無關的特徵向量。
推論1
對於n階方陣A,若存在可逆矩陣P, 使其為對角陣,則稱方陣A可對角化。
對任意一個n階矩陣A,都存在n階可逆矩陣T使得即任一n階矩陣A都與n階約當矩陣J相似。
相似矩陣判斷方法
1.判斷特徵值是否相等;
2.判斷行列式是否相等;
3.判斷跡是否相等;
4.判斷秩是否相等。
以上條件可以作為判斷矩陣是否相似的必要條件,而非充分條件。
(兩個矩陣若相似於同一對角矩陣,這兩個矩陣相似。)
相似矩陣應用
3.利用矩陣對角化求解線性方程組。