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特徵分解
鎖定
特徵分解(Eigendecomposition),又稱譜分解(Spectral decomposition)是將矩陣分解為一組特徵值與特徵向量的乘積。
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- 中文名
- 特徵分解
- 外文名
- Eigen decomposition
- 又 稱
- 譜分解
- 對 象
- 可對角化矩陣
- 領 域
- 機器學習
目錄
- 1 基礎理論
- 2 分解方法
- ▪ 矩陣的特徵分解
- ▪ 通過特徵分解求矩陣的逆
- ▪ 對特殊矩陣的特徵分解
特徵分解基礎理論
N 維非零向量 v 是 N×N 的矩陣 A 的特徵向量,當且僅當下式成立:
由上式可得
稱多項式 p(λ) 為矩陣的特徵多項式。上式亦稱為矩陣的特徵方程。特徵多項式是關於未知數 λ 的 N 次多項式。由代數基本定理,特徵方程有 N 個解。這些解的解集也就是特徵值的集合,有時也稱為“譜”(Spectrum)。
我們可以對多項式 p 進行因式分解,而得到
其中
對每一個特徵值 λi ,我們都有下式成立:
對每一個特徵方程,都會有
(
)個線性無關的解。這 mi 個向量與一個特徵值 λi 相對應。這裏,整數 mi 稱為特徵值 λi 的幾何重數,而 ni 稱為代數重數。這裏需要注意的是幾何重數與代數重數可以相等,但也可以不相等。一種最簡單的情況是 mi = ni = 1。特徵向量的極大線性無關向量組中向量的個數可以由所有特徵值的幾何重數之和來確定。
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特徵分解分解方法
特徵分解矩陣的特徵分解
其中 Q 是N×N方陣,且其第 i列為 A 的特徵向量 。 Λ 是對角矩陣,其對角線上的元素為對應的特徵值,也即
。這裏需要注意只有可對角化矩陣才可以作特徵分解。比如
不能被對角化,也就不能特徵分解。
特徵分解通過特徵分解求矩陣的逆
特徵分解對特殊矩陣的特徵分解
類似地,一個復正規矩陣具有一組正交特徵向量基,故正規矩陣可以被分解成