漸屈線

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。

從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出“最合適”的座標系。

曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內藴幾何。任何正則曲線可以用弧長（“自然參數”）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變量曲線的“曲率”和“撓率”來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。

設

是一個正整數，

是正整數或

，

是實數非空區間，

屬於

。一個

類（即

為

次連續可微）向量值函數

稱為一條

類參數曲線或曲線

的一個

參數化，

稱為曲線

的參數，

稱為曲線的像。將曲線

和曲線的像

區別開來非常重要，曲線是一個映射，而像是一個集合。一個給定的像可以描述為許多不同的

曲線。

可以想象參數

代表時間，而曲線

作為空間中一個運動粒子軌跡。

如果I是閉區間 [a,b]，我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點。

如果

，我們説 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 C-曲線，如果 γ(a) = γ(b) 對所有k≤r。

如果

為單射，我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線

局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是

類。記號 -

表示朝相反的方向運動的曲線。

一條

-曲線

稱為

階正則當且僅當對任何

屬於

：

在

中線性無關。

特別地，一條

-曲線

是正則的如果

對任何

^[1] 

三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。

法線是與多邊形（polygon）的曲面垂直的理論線，一個平面（plane）存在無限個法向量（normal vector）。在電腦圖學（computer graphics）的領域裏，法線決定着曲面與光源（light source）的濃淡處理（Flat Shading），對於每個點光源位置，其亮度取決於曲面法線的方向。

對於像三角形這樣的多邊形來説，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。

用方程

表示的平面，向量

就是其法線。

如果S是曲線座標x(s,t)表示的曲面，其中s及t是實數變量，那麼用偏導數叉積表示的法線為

如果曲面S用隱函數表示，點集合

滿足

，那麼在點

處的曲面法線用梯度表示為

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

曲面法線的法向不具有唯一性（uniqueness），在相反方向的法線也是曲面法線。曲面在三維的邊界（topological boundary）內可以分區出inward-pointing normal 與 outer-pointing normal, 有助於定義出法線唯一方法（unique way）。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。 ^[2] 

在幾何學，某個曲線族的包絡線（Envelope），是跟該曲線族的每條線都有至少一點相切的一條曲線。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線

可表示為

，其中

是曲線族的參數，

是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由

得出，其中

以以下的方程求得：

若曲線族以隱函數形式

表示，其包絡線的隱方程，便是以下面兩個方程消去

得出。

繡曲線是包絡線的例子。直線族

（其中

是常數，

是直線族的變數）的包絡線為拋物線。 ^[3] 

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裏的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP和直線段長PQ相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程，其中

，曲線A的方程為

。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程

（

），則其漸屈線為

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) )是：

^[3]