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向量積
鎖定
- 中文名
- 向量積
- 外文名
- cross product
- 別 名
- 向量積
- 表達式
- a×b
- 應用學科
- 數學，物理，力學
- 領域範圍
- 解析幾何
向量積基本概念
向量積表示方法
向量積定義
向量積可以被定義為：
模長：（在這裏θ表示兩向量之間的夾角（共起點的前提下）（0°≤θ≤180°），它位於這兩個矢量所定義的平面上。）
方向：a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直，且遵守右手定則。（一個簡單的確定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的：若座標系是滿足右手定則的，當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時，豎起的大拇指指向是c的方向。）
也可以這樣定義（等效）：
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>
即c的長度在數值上等於以a，b，夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面，c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
向量積座標運算
寫成det
利用三階行列式，寫成det
向量積證明
為了更好地推導，需要加入三個軸對齊的單位向量i，j，k。
i，j，k滿足以下特點：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）
由此可知，i，j，k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個座標系。
這三個向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。
對於處於i，j，k構成的座標系中的向量u，v可以如下表示：
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；
那麼uxv=（Xu*i+Yu*j+Zu*k）x（Xv*i+Yv*j+Zv*k）
=Xu*Xv*（ixi）+Xu*Yv*（ixj）+Xu*Zv*（ixk）+Yu*Xv*（jxi）+Yu*Yv*（jxj）+Yu*Zv*（jxk）+Zu*Xv*（kxi）+Zu*Yv*（kxj）+Zu*Zv*（kxk）
由於上面的i，j，k三個向量的特點，所以，最後的結果可以簡化為
向量積與數量積的區別
注：向量積≠向量的積（向量的積一般指點乘）
名稱 | 標積/內積/數量積/點積 | 矢積/外積/向量積/叉積 |
|---|---|---|
運算式（a，b和c粗體字，表示向量） | a·b=|a||b|·cosθ | a×b=c，其中|c|=|a||b|·sinθ，c的方向遵守右手定則 |
幾何意義 | 向量a在向量b方向上的投影與向量b的模的乘積 | c是垂直a、b所在平面，且以|b|·sinθ為高、|a|為底的平行四邊形的面積 |
運算結果的區別 | 標量（常用於物理）/數量（常用於數學） | 矢量（常用於物理）/向量（常用於數學） |
向量積性質
向量積幾何意義及其運用
向量積代數規則
1、反交換律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、與標量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的R3構成了一個李代數。
向量積拉格朗日公式
證明過程
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）
證明過程如下：
二重向量叉乘化簡公式及證明
這裏給出一個和梯度相關的一個情形：
這是一個霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是：
向量積矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式：
i×j=k；
j×k=i；
k×i=j；
通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設
a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；
b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；
則a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量[a1，a2，a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算：計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。
[2]
向量積高維情形
七維叉積具有與三維叉積相似的性質：
雙線性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；
反交換律：x×y+y×x=0；
同時與x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；
拉格朗日恆等式：|x×y|²=|x|²|y|²-（x·y）²；
向量積應用
在物理學光學和計算機圖形學中，叉積被用於求物體光照相關問題。
