隱函數

隱函數是由隱式方程所隱含定義的函數。設F（x,y）是某個定義域上的函數。如果存在定義域上的子集D，使得對每個x屬於D，存在相應的y滿足F(x,y)=0，則稱方程確定了一個隱函數。記為y=y(x)。 ^[2]  顯函數是用y=f(x)來表示的函數，顯函數是相對於隱函數來説的。

如果在方程F(x,y)=0中，當x取某區間內的任一值時，相應地總有滿足此方程唯一的y值存在，那麼方程F(x,y)=0在該區間內確定了一個一元隱函數。類似若有一個三元方程F(x,y,z)=0所確定的二元函數z=f(x,)存在，則有可能確定一個二元隱函數。 ^[3] 

對於一個已經確定存在且可導的情況下，可以用複合函數求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導，由於y其實是x的一個函數，所以可以直接得到帶有 y' 的一個方程，然後化簡得到 y' 的表達式。 ^[1] 

隱函數導數的求解一般可以採用以下方法：

方法①：先把隱函數轉化成顯函數，再利用顯函數求導的方法求導；

方法②：隱函數左右兩邊對x求導（但要注意把y看作x的函數）；

方法③：利用一階微分形式不變的性質分別對x和y求導，再通過移項求得的值；

方法④：把n元隱函數看作(n+1)元函數，通過多元函數的偏導數的商求得n元隱函數的導數。

舉個例子，若欲求z = f(x,y)的導數，那麼可以將原隱函數通過移項化為f(x,y,z) = 0的形式，然後通過（式中F'y,F'x分別表示y和x對z的偏導數）來求解。

一個函數y=ƒ(x)，隱含在給定的方程

中，作為這方程的一個解（函數）。例如

(1)

如果不限定函數連續，則式中正負號可以隨x而變,因而有無窮個解；如果限定連續，則只有兩個解（一個恆取正號,一個恆取負號）；如果限定可微，則要排除x=±1，因而函數的定義域應是開區間(-1<x<1)，但仍然有兩個解;如果還限定在適合原方程的一個點(x,y)=( x₀,y₀)的鄰近範圍內，則只有一個惟一的解（當起點(x₀,y₀)在上半平面時取正號，在下半平面時取負號）。

微分學中主要考慮函數z=F(x，y)與y=ƒ(x)都連續可微的情形。

這時可以利用複合函數的微分法對方程(1)直接進行微分：

(2)

可見，即使在隱函數y=ƒ(x)難於解出的情形，也能夠直接算出它的導數，唯一的條件是

(3)

隱函數理論的基本問題就是：在適合原方程(1)的一個點的鄰近範圍內，在函數F(x,y)連續可微的前提下，什麼樣的附加條件能使得原方程(1)確定一個惟一的函數y=ƒ(x)，不僅單值連續,而且連續可微，其導數由(2)完全確定。隱函數存在定理就用於斷定(3)就是這樣的一個條件，不僅必要，而且充分。

設方程P(x, y)=0確定y是x的函數，並且可導。如今可以利用複合函數求導公式求出隱函數y對x的導數。

例1 方程 x²+y²-r²=0確定了一個以x為自變量，以y為因變量的數，為了求y對x的導數，將上式兩邊逐項對x求導，並將y²看作x的複合函數，則有：

(x²)+ (y²)-(r²)=0

即 2x+2yy'=0

於是得y'=-x/y 。

從上例可以看到，在等式兩邊逐項對自變量求導數，即可得到一個包含y'的一次方程， 解出y'即為隱函數的導數。

例2 求由方程y²=2px所確定的隱函數y=f(x)的導數。

解： 將方程兩邊同時對x求導，得：

2yy'=2p

解出y'即得

y'=p/y

例3 求由方程y=x ln y所確定的隱函數y=f(x)的導數。

解：將方程兩邊同時對x求導，得

y’=ln y+xy' /y

解出y'即得 。