隱函數存在定理

設

，函數

，對於方程

（1）

如果存在集合

，對任何

，有唯一確定的

，使得

，且滿足方程（1），則稱方程（1）確定了一個定義在

上，值域含於

的隱函數。若把它記為

則成立恆等式

隱函數必須在指出它的方程以及x,y的取值範圍後才有意義。當然，在不產生誤解的情況下，其取值範圍也可不必一一指明，此外，還需指出：並不是任一方程都能確定出隱函數，如方程：

，當

時，就不能確定任何函數

，使得：

；而只有當

時，才能確定隱函數。 ^[1] 

若函數

滿足下列條件：

(i)F在以

為內點的某一區域

上連續

(ii)

（通常稱為初始條件）

(iii)F在D內存在連續的偏導數

(iv)

則

1°存在點

的某鄰域

，在

上方程

唯一地決定了一個定義在某區間

上的隱函數

，使得當

時，

，且

，

；

2°

在

上連續。

（1）該定理的條件僅僅是充分的，例如方程

，在點

不滿足條件(iv)（

），但它仍能確定惟一的函數

。當然，由於條件(iv)不滿足，往往導致定理結論的失效，例如雙紐線，其方程為：

。由於

，

與

均連續，故滿足定理(i)(ii)(iii)，但因

，致使在原點的無論怎樣小的鄰域內都不可能存在唯一的隱函數。

（2）在定理的證明過程中，條件(iii)和(iv)只是用來保證存在

的某一鄰域，在此鄰域內F關於變量y是嚴格單調的。

（3）如果把定理的條件(iii)、(iv)改為

連續，且

，這時，結論是存在惟一的連續函數

設

滿足隱函數存在惟一性定理中的條件(i)-(iv)，又設在D上還存在連續的偏導數

，則由方程(1)所確定的隱函數

在其定義域

上有連續導函數，且

。

n元隱函數的惟一存在與連續可微性定理：

若

(i)函數

在以點

為內點的區域

上連續，

(ii)

(iii)偏導數

在D上存在且連續

(iv)

則

1°存在點

的某鄰域

，在

上方程

惟一地確定了一個定義在

的某鄰域

上的n元連續函數（隱函數）

，使得： ^[1] 

當

時

且

2°

在

上有連續偏導數

，而且

若

(i)

與

在以點

為內點的區域

上連續

(ii)

（初始條件）

(iii)在

上

具有一階連續偏導數

(iv)

在點

不等於零

則

1°存在點

的某一（四維空間）鄰域

，在

上，方程組（1）惟一地確定了定義在點

的某一（二維空間）鄰域

上的兩個二元隱函數 ^[1] 

使得：

，且當

時

2°

在

上連續

3°

在

上有一階偏導數，且