半平面

半平面是立體幾何的基本概念之一。一條直線將平面分為兩部分，其中的每一部分均稱為半平面。例如，若a是平面α上的一條直線，則將α上不屬於a的點按以下性質分為兩個集合：連結同一個集合的兩點的線段不與a相交，連結不同集合的兩點的線段必與a相交。這兩個集合都稱為半平面，直線a稱為這兩個半平面的邊界或邊緣，包含邊界的半平面稱為閉半平面，不包含邊界的半平面稱為開半平面。 ^[2] 

歐氏平面被平面上一直線

分割成兩部分，其中每一部分都稱做半平面，直線

可以屬於兩半平面中的任一個，若直線

的方程為

(A，B不同時為零)，且它不屬於兩半平面中的任何一個，則該直線所確定的兩半平面中一個上的點都滿足

，而另半平面上的點都滿足

。 ^[3] 

所謂半平面，就是指一條直線一側的部分。若規定直線的正方向．則沿正方向看去，左側的部分稱為左半平面，右側的部分稱為右半平面。直線上的點屬於哪個半平面，需根據實際問題，具體判斷。 ^[4] 

直線

將

平面分割成兩個半平面。若對着向量

的方向時，在左邊的半平面稱為左半平面，在右邊的半平面稱為右半平面。請注意左右半平面的定義是由向量

的方向所決定。例如:直線

所分割的平面如圖1，直線

(同樣的直線但方向相反)分割的平面如圖2。 ^[5] 

有時討論半平面，是要決定哪個半平面包含所給定的點，對於由直線

分割的平面，它的左半平面與右半平面如3所示。

要決定那個半平面包含點

我們可以定義向量

，

如果P在左半平面，則

是(0，0，1)的正倍數；如果P在右半平面，則

是(0，0，1)的負倍數。

考慮直線

和點

：

是（0,0,1）的正倍數，我們可以從圖3中看出P點確實在左半平面。

注意：上面測定點位於左或右半平面的方法適用於右手座標系統(右手座標系統在計算時較常使用)，然對於左手座標系統，其他條件相同，如果P在左半平面，則

是(0，0，1)的負倍數；如果P在右半平面，則

是(0，0，1)的正倍數。 ^[5] 

對於複平面，常研究所謂上半平面

和下半平面

左半平面

和右半平面

覆上半平面可以通過分式線性函數

保角映射為圓

其中

為任一複數，

。 ^[3]