泛函分析

《泛函分析》還涉及了對於計算拓撲不變量十分重要的算子的指標、強有力的分析工具Lidskii跡公式、Fredholm行列式及其推廣，以及源自於物理的散射理論及其他特殊論題。

《泛函分析》理論內容緊密聯繫具體應用，包含了大量習題和例題。書中還給出了一些歷史註記。這部優美簡潔的著作已被很多學校用作教材或主要參考書。 ^[1] 

第1章 線性空間

第2章 線性映射

2.1 線性映射生成的代數

2.2 線性映射的指標

第3章 Hahn－Banach定理

3.1 延拓定理

3.2 Hahn－Banach定理的幾何形式

3.3 Hahn－Banach定理的延拓

第4章 Hahn－Banach定理的應用

4.1 正線性泛函的延拓

4.2 Banach極限

4.3 有限可加的不變集函數

第5章 賦範線性空間

5.1 範數

5.2 單位球的非緊性

5.3 等距

第6章 Hilbert空間

6.1 內積

6.2 閉凸集中的最佳逼近點

6.3 線性泛函

6.4 線性張

第7章 Hilbert空間結果的應用

7.1 Radon－Nikodym定理

7.2 Dirichlet問題

第8章 賦範線性空間的對偶

8.1 有界線性泛函

8.2 有界線性泛函的延拓

8.3 自反空間

8.4 集合的支撐函數

第9章 對偶性的應用

9.1 加權冪的完備性

9.2 Muntz逼近定理

9.3 Runge定理

9.4 函數論中的對偶變分問題

9.5 Green函數的存在性

第10章 弱收斂

10.1 弱收斂序列的一致有界性

10.2 弱序列緊性

10.3 弱收斂

第11章 弱收斂的應用

11.1 用連續函數逼近6函數

11.2 傅里葉級數的發散性

11.3 近似求積分

11.4 向量值函數的弱解析性和強解析性

11.5 偏微分方程解的存在性

11.6 具有正實部的解析函數的表示

第12章 弱拓撲和弱拓撲

第13章 局部凸空間拓撲和Krein－Milman定理

13.1 通過線性泛函分離點

13.2 Krein－Milman定理

13.3 Stone－Weierstrass定理

13.4 Choquet定理

第14章 凸集及其極值點的例子

14.1 正線性泛函

14.2 凸函數

14.3 完全單調函數

14.4 Caljatheodorly和Bochner定理

14.5 Krein的一個定理

14.6 正調和函數

14.7 Hamburger矩問題

14.8 G.Birkhoff猜測

14.9 De Finetti定理

14.10 保測映射

第15章 有界線性映射

15.1 有界性和連續性

15.2 強拓撲和弱拓撲

15.3 一致有界原理

15.4 有界線性映射的複合

15.5 開映射原理

第16章 有界線性映射的例子

16.1 積分算子的有界性

16.2 Marcel Riesz凸性定理

16.3 有界積分算子的例子

16.4 雙曲方程的解算子

16.5 熱傳導方程的解算子

16.6 奇異積分算子，擬微分算子和Fourier積分算子

第17章 Banach代數及其基本譜理論

17.1 賦範代數

17.2 函數演算

第18章 交換Banach代數的Gelfand理論

第19章 交換Banach代數的Gelfand理論的應用

19.1 代數C(S)

19.2 Gelfand緊化

19.3 絕對收斂的F0urier級數

19.4 閉單位圓盤上的解析函數

19.5 開單位圓盤內的解析函數

19.6 Wiener的陶伯定理

19.7 交換的B代數

第20章 算子及其譜的例子

20.1 可逆映射

20.2 移位

20.3 Volterlra積分算子

20.4 Fourier變換

第21章 緊映射

21.1 緊映射的基本性質

21.2 緊映射的譜理論

第22章 緊算子的例子

22.1 緊性的判別準則

22.2 積分算子

22.3 橢圓偏微分算子的逆

22.4 由拋物型方程定義的算子

22.5 殆正交基

第23章 正的緊算子

23.1 正的緊算子的譜

23.2 隨機積分算子

23.3 二階橢圓算子的逆

第24章 積分方程的Fredholm理論

24.1 Fredholm行列式和nedholm預解式

24.2 Fredholm行列式的乘法性質

24.3 Gelfand－Levian－Marchenko方程和Dyson的公式

第25章 不變子空間

25.1 緊算子的不變子空間

25.2 不變子空間套

第26章 射線上的調和分析

26.1 調和函數的Phragmen－Lindelof原理

26.2 抽象Phragmen－Lindelof原理

26.3 漸進展開

第27章 指標理論

27.1 Noether指標

27.2 Toeplitz算子

27.3 Hankel算子

第28章 Hilbert空間上的緊對稱算子

第29章 緊對稱算子的例子

29.1 卷積

29.2 一個微分算子的逆

29.3 偏微分算子的逆

第30章 跡類和跡公式

30.1 極分解與奇異值

30.2 跡類，跡範數，跡

30.3 跡公式

30.4 行列式

30.5 跡類算子的例子和反例

30.6 Poisson和公式

30.7 如何將算子的指標表示成跡的差

30.8 Hilbert-Schmidt類

30.9 Banach空間上的算子的跡和行列式

第31章 對稱算子、正規算子和酉算子的譜理論

31.1 對稱算子的譜

31.2 對稱算子的函數演算

31.3 對稱算子的譜分解

31.4 絕對連續譜、奇異譜和點譜

31.5 對稱算子的譜表示

31.6 正規算子的譜分解

31.7 酉算子的譜分解

第32章 自伴算子的譜理論

32.1 譜分解

32.2 利用Cayley變換構造譜分解

32.3 自伴算子的函數演算

第33章 自伴算子的例子

33.1 無界對稱算子的延拓

33.2 對稱算子延拓的例子，虧指數

33.3 Friedrichs延拓

33.4 Rellich擾動定理

33.5 矩問題

第34章 算子半羣

34.1 強連續的單參數半羣

34.2 半羣的構造

34.3 半羣的逼近

34.4 半羣的擾動

34.5 半羣的譜理論

第35章 酉算子羣

35.1 Stone定理

35.2 遍歷理論

35.3 Koopman羣

35.4 波動方程

35.5 平移表示

35.6 Heisenberg交換關係

第36章 強連續算子半羣的例子

36.1 由拋物型方程定義的半羣

36.2 由橢圓型方程定義的半羣

36.3 半羣的指數型衰減

36.4 LaX-Phillips半羣

36.5 障隘外部的波動方程

第37章 散射理論

37.1 擾動理論

37.2 波算子

37.3 波算子的存在性

37.4 波算子的不變性

37.5 位勢散射

37.6 散射算子

37.7 Lax-Phillips散射理論

37.8 散射矩陣的零點

37.9 自守波動方程

第38章 Beurling定理

38.1 Hardy空間

38.2 Beurling定理

38.3 Titchmarsh卷積定理

附錄ARiesz－Kakutani表示定理

A.1 正線性泛函

A.2 體積

A.3 函數空間工

A.4 可測集和測度

A.5 Lebesgue測度和積分

附錄B 廣義函數理論

B.1 定義和例子

B.2 廣義函數的運算

B.3 廣義函數的局部性質

B.4 在偏微分方程中的應用

B.5 Fourier變換

B.6 Fourier變換的應用

B.7 Fourier級數

附錄C Zorn引理

關鍵詞索引

作者：（美國）拉克斯（Peter D.Lax） 譯者：侯成軍 王利廣

Peter D.Lax，當代最傑出的數學家之一，2005年阿貝爾獎和1987年沃爾夫獎得主，美國科學院院士，於1986年榮獲美國國家科技獎章。Lax 1926年5月1日生於匈牙利，1941年隨父母定居紐約，自1958年開始就一直在紐約大學從事教學與研究工作，曾擔任柯朗數學研究所所長。他在純數學與應用數學的諸多領域都有卓越的建樹，影響深遠。同時，他一生致力於數學教育，獨立撰寫或與他人合著教材20多部。