算子半羣

算子半羣是依賴於參數且對乘法運算封閉的算子族。設X是線性空間，T_t(t≥0(或t>0))是X上的線性算子。如果對任何t₁，t₂≥0(或>0)，有T_t1T_t2=T_t1+t₂，則稱{T_t|t≥0(或t>0)}為單參數算子半羣，或簡稱算子半羣。顯然，算子半羣即把參數t的加法半羣(因限制t≥0或t>0故僅是加法半羣)變成算子(按算子乘法)的半羣.對於半羣{T_t|t≥0}，通常總加上假設T₀=I。在泛函分析中，通常要假設X是巴拿赫空間或拓撲線性空間(重要的是局部凸拓撲線性空間)，並且把{T_t|t≥0(或t>0)}視定義在[0，+∞)(或(0，+∞))上算子值函數時，還要假設有某種連續性，具體可見C₀類算子半羣，C₀類等度連續算子半羣，解析算子半羣等。上面談的是線性算子半羣，此外還有非線性算子半羣。

算子半羣理論是泛函分析的重要分支之一，主要研究各種類型的算子半羣和生成元的特徵，以及指數公式的各種表達形式。它在微分方程、概率論(馬氏過程)、系統理論、逼近論和量子理論中是經常出現的。

是這樣一族線性算子{T(t)|t≥0}，它們都連續地映巴拿赫空間x於自身，滿足：①T(0)=I（恆同算子）；

；③對一切x∈X，有T(t)x→x於x當t↓+0。這類半羣可以表示為exp(-tA)的形式，其中A是閉的；有稠密的定義域D(A)，且滿足條件：有常數M，使n=1,2,…。這個條件還是充分的。指數公式exp(-tA)有幾種解釋。其一，當x∈D(A)時，成立 。這個結論給出算子微分方程初始值問題的解。 ，有解x(t)=T(t)x0。其二， ，這裏若記 則其為有界線性算子，於是可以定義 。其三， 。這類算子半羣的理論主要是由C.E.希爾、吉田耕作、R.S.菲利普斯等人奠定的。 ^[2] 

是希爾伯特空間 H到自身的一族酉算子(見線性算子)，{U(t)│-∞<t<∞},滿足:①對一切實數

；②對任意x,y∈H，函數(U(t)x,y)是可測的，其中( ,)是H上的內積。斯通定理斷言：U(t)=exp(-itA)，其中A是H上的一個自伴算子。而且逆定理也成立。這個定理在羣表示論中有重要的作用，在量子力學中則給出薛定諤方程解的表示。

滿足‖T(t)‖≤1，對一切t>0的強連續算子半羣。成為壓縮半羣的生成元A的充要條件是，對一切λ>0。線性算子A稱為是增殖的，是對一切x∈D(A)，對,式中〈,〉表示x的共軛空間與x 間的對偶。壓縮半羣的生成元有一個等價的刻畫：A是閉的增殖算子，並有λ0>0，使得(λ0I+A)的值域是滿的。壓縮半羣的應用極為廣泛，許多具體算子半羣都是壓縮的。例如：布朗運動中遷移函數導出的算子半羣、發展型方程的解導出的算子半羣以及泊松核導出的半羣等。

還有一類特殊的壓縮半羣,其中T(t)作為 t的算子值函數可以解析開拓到一個包含正實軸的複平面中的角形區域上去。這類算子半羣在拋物型方程中有重要應用。

線性算子半羣理論也被推廣到了非線性算子。非線性壓縮算子半羣{T(t)│t≥0}是這樣一族由巴拿赫空間x中的子集C到自身C 的非線性映射，除了滿足強連續線性算子半羣定義中的條件①～③(但以x∈C代替x∈x)而外，還假設滿足條件④‖T(t)x-T(t)y‖≤‖x-y‖,對一切x,y∈C,和一切t≥0。為了描寫非線性壓縮半羣的生成元，引進多值增殖算子的概念。稱x×x上的一個子集A為一個多值算子,如果記Ax={y∈x|[x,y]∈A},D(A)={x∈x|Ax≠═},R(A)=UAx,(見非線性算子)。一個多值算子A稱為是增殖的，如果對一。當x是希爾伯特空間時，一個多值增殖算子就是一個單調算子。多值增殖算子有一個等價刻畫。當λ>0,對一切[x1,yj]∈A,i=1,2。有下列克蘭多爾－利格特定理：設A是巴拿赫空間x上的一個閉的多值增殖算子，並且存在λ>0，使一切t>0及一都存在，並且T(t)是一個非線性壓縮半羣。但是其逆命題一般是不成立的。事實上有例子表明：存在着一個沒有生成元的壓縮半羣,即對每都不存在。然而當x是一個希爾伯特空間時，上述定理中的條件相當於A是極大單調的。這時其逆定理在下述意義下成立。設x是一個希爾伯特空間,那麼在x 的極大單調算子A與閉凸子集C上的非線性壓縮半羣之間存在着一一對應如下:①對每個極大單調算子A，存上的唯一的非線性壓縮半羣T(t),使得A0x是Ax中取極小模的元素}是這半羣的生成元;②對每個在閉凸子集C上定義的非線性壓縮半羣T(t),存在唯一的極大單調算子A,使得，並且A0是T(t)的生成元。非線性半羣理論在非線性發展型方程和非線性各態歷經理論的研究中有重要的應用。 ^[3] 

泛函分析是是研究無限維線性空間上的泛函數和算子理論的一門分析數學，是數學許多分支的內容和方法的統一處理，它概括了變分法、微分方程與積分方程、實變函數論、函數逼近論、算子理論中的某些個別的論證，並給出了一般的論證方法，表現了數學方法的本質的內在聯繫。所謂算子，也叫算符，在數學上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。所謂泛函數即指，給定任意兩個集合X和Y，給定一個法則f，假如對每一元素x∈X，依f可唯一確定y∈Y和它對應，則稱在X上定義了一個抽象函數或算子y=fx，其值域包含在Y內，若算子的值是實數，則稱該算子為泛函數。泛函分析的特點是，它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這個概念和方法幾何化了。泛函分析的主要內容包括拓撲線性空間及其算子理論、廣義函數論、非線性泛函分析等，它在數學物理方程、概率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學中都有廣泛的應用。它雖形成於本世紀30年代，但已發展成一門理論完備、內容豐富的數學學科了。