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廣義函數

廣義函數，數學概念，是古典函數概念的推廣。關於廣義函數的研究構成了泛函分析中有着廣泛應用的一個重要分支。廣義函數被廣泛地應用於數學、物理、力學以及分析數學的其他各個分支，例如微分方程、隨機過程、流形理論等等，它還被應用到羣的表示理論，特別是它有力地促進了偏微分方程近30年來的發展。

中文名: 廣義函數
外文名: generalized function,distribution

解釋: 是古典函數概念
拼音：: guang yi han shu

廣義函數來歷

古典函數概念的推廣。歷史上第一個廣義函數是由物理學家 P.A.M. 狄拉克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入了“函數”δ(x)：當 x≠0時,δ(x)=0，但x=0時，δ(x)=∞。按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函數的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚,而且當它被當作普通函數參加運算,如對它進行微分和傅里葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函數確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是把這種怪函數設想成直線上某種分佈所相應的“密度”函數。所以廣義函數又稱為分佈，廣義函數論又叫做分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函數建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨着泛函分析的發展，L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函數建立了一整套嚴格的理論,接着蓋爾範德對廣義函數論又作了重要發展。

廣義函數爭論

關於通常函數的爭論

18世紀與19世紀關於函數的定義可列舉如下^[1] ：

變量的函數是由這個變量與常量所組成的解析表達式。——J.貝努利，1718。
函數是信手畫出的曲線。——L.歐拉，1748。
如果某些量以這樣的方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。——L.歐拉，1755。
任何一個數值依賴於一個或多個其他的量都稱為後面這些量的函數。它與知道或不知道必須以怎樣運算才能由後者找出前者無關。——C.拉卡魯。
x的函數是一個對每個x給出的且隨x而逐漸變化的數，函數值可用解析表達式給出，也可以用一個條件給出，這個條件提供檢驗全部函數的方法。函數的依賴關係可以存在但仍然是未知的。——H.u.羅巴切夫斯基，1834.
y是x的函數，如果任何x值，都對應着一個完全確定的y值。但是究竟以怎樣方式建立所説的對應，根本不重要。——P.狄利克萊，1837.

正是在以什麼樣方式給出x與y之間對應是不是重要這一點上,圍繞着函數定義再一次的發生了衝突,而這已經是20世紀初了。實際上,根據獲裏狄利克萊定義字面的意義,為了給出函數，對於每個x都必須給出它的函數值，並且不同x的值彼此之間無任何聯繫,但是究竟以什麼方式能給出函數呢?要知道，自變量x的值是一個無窮集合,因此在這裏應當討論彼此間無聯繫條件的無窮集合,對於它們的全體又應怎樣來描述呢?為了列舉無窮集合,給出一個唯一函數的條件, 既不是指位置,也不是指時間(正是在這種情況下出現所謂勒貝格不可測函數)。毫無疑問,由有限幾句話組成的“法則”給出的函數是有權存在的,但是不給這種法則的所謂《無法則》的函數是不是沒有意義呢?^[1]

能夠把《無法則》的函數,作為無用函數而從分析中去掉嗎?曾有一個專門的審查計劃,目的是檢查《無法則》函數在分析構造起什麼作用,研究的結果表明，《無法則》函數在分析基礎中是不能排除掉的,否則將會破壞數學分析原有的和諧格局。數學家們因此分成了兩個陣營：不要求一定法則的“狄利克萊”函數定義的支持者和要求由幾句話組成定法則的“羅巴切夫斯基”函數定義的支持者。被稱為直覺主義的第二陣營的代表拒絕了古典分析中大部分內容，創建了獨特的《直覺主義》數學。不希望放棄古典分析成就的第一陣營代表,調和了由於存在《無法則》函數而引起的許多自相矛盾的事實。我們還可以相信，數學的進一步發展是不會沿着直覺主義的道路進行的,同時古典數學的成就總是不可動搖的。但是,直覺主義的具體結果由有限的、不多的、幾句話組成的法則所給出的函數,在現代的計算機理論與技術中都得到了意料不到的應用。^[1]

廣義函數引進

廣義函數的引進

情況開始嚴重起來，出現了損害數學家與物理學家相互理解的危險。為了避免這種危險 , 因而建立了具有下列性質的函數定義^[1] ：

1.古典分析中的通常函數，也是新意義下的函數；

2.函數及物理學中其他《奇異》函數也屬於這種新函數；

3.一切新函數都有導數,而這個導數同樣也是新意義下的函數；

4.收斂的新函數項級數可以逐項微分，並且由導數組成的級數和總等於原來級數和的導數；

第一陣營的觀點在這裏未被用上 .在這裏蘇聯數學家C.L.索波列夫的功勞是很大的，他發現了滿足所有列出的四項要求的函數族。後來這些函數族被稱為《廣義函數》。從索波列夫引入廣義函數（1934-1936年）已有50多年.在這段時期裏,廣義函數得到了廣泛發展,並且在數學分析與其他數學分支以及物理的許多問題中,已經變成了必備的知識^[1] 。

廣義函數又稱為分佈，廣義函數論又叫做分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函數建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨着泛函分析的發展，L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函數建立了一整套嚴格的理論,接着蓋爾範德對廣義函數論又作了重要發展^[1] 。

廣義函數重要影響

J.（S.）阿達馬(1932)在研究波動方程基本解時使用了發散積分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究雙曲型方程的柯西問題時用分部積分引入了廣義導數和微分方程廣義解的概念,並把函數δ及其導數δ□等視為某個函數空間上的線性泛函；他對廣義函數論的建立邁出了決定性的一步。S.博赫納(1932)和T.卡萊曼(1944)討論了冪增長函數的傅里葉變換，提出了連續函數的形式導數概念。

當然為那些怪函數建立嚴格數學基礎的方法並不是惟一的，例如波蘭學者J.米庫辛斯基就曾用較初等的方法建立它們的基礎。也有把廣義函數看作解析函數的邊界值，並由此發展出超函數理論。換句話説，廣義函數的定義並不完全統一，而是具有一定程度的靈活性，可以根據問題的需要適當地定出相應的廣義函數類。

泛函分析觀念下的廣義函數理論的核心是把廣義函數看成某個函數空間上的連續線性泛函，即先選取某些性質很好的函數組成的線性空間，再在其中給出適當的收斂概念，這樣的函數空間就稱為基本函數空間，又稱為測試函數空間，而其中每個函數稱為基本函數或測試函數。相應於基個基本空間上的連續線性泛函就稱為該基本空間上的廣義函數。廣義函數全體就稱為相應於基本空間的廣義函數空間。