廣義導數

廣義導數是導數概念對某些不可微函數類的推廣。

第一種廣義導數的定義是弱導數，它是從廣義函數概念的觀點得出的。設 f 和

是

中開集

上的局部可積（即在任何有界閉集

上勒貝格可積）函數，如果對任何

有

則稱

是 f 對

在

上的弱導數，並記作

。

高階廣義導數

可歸納地定義，它們與微分的次序無關（在幾乎處處意義下）。

第二種廣義導數的定義是強導數。假定對每個有界閉集

，定義在

上的函數 f 和

有性質

且假定函數

以及它們的偏導數

在

上連續，那麼

是 f 在

上對

的強導數

。

在強導數的定義式中

對於

的收斂也可以換成

意義下的收斂。

顯然，若函數

的強導數存在，則弱導數也存在且強導數與弱導數相等。又若函數

按經典意義可導，則強導數與弱導數都存在且與經典導數相等。 ^[1]