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弱導數
鎖定
在
數學中，
弱導數（Weak Derivative）是一個函數的微分（強微分）概念的推廣，它可以作用於那些
勒貝格可積（Lebesgue Integrable）的函數，而不必預設函數的
可導性（事實上大部分可以弱微分的函數並不可微
）。
- 中文名
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弱導數
- 外文名
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weak derivative
- 領 域
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數學
- 別 稱
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弱微分
弱導數定義
弱導數作用於那些
勒貝格可積的函數，而不必預設函數的
可微性。一個典型的
勒貝格可積函數的空間是
。在分佈中，可以定義一個更一般的微分概念。
令
是一個在
中的勒貝格可積的函數，稱
是
的一個
弱導數，如果
推廣到
維的情形，如果
和
是
中的函數（在某個開集
中局部可積），並且
是一個
多重指標，那麼
稱為
的
次弱微分，如果
其中
是一個任意給定的函數，即給定的
支撐集含於
的無窮可微的函數。
如果
的弱導數存在，一般被記為
。可以證明，一個函數的弱微分在
測度意義是唯一的，即如果有兩個不同的弱導數，其僅可能在一個零測集上存在差異
[1]
。
弱導數例子
函數
在
並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱導數：
弱導數性質
如果兩個函數是相同函數的弱導數，那麼它們除了在一個
勒貝格測度為零的集合上以外相等，也就是説，它們
幾乎處處相等。如果我們考慮函數的等價類，其中兩個函數是等價的如果它們幾乎處處相等，那麼弱導數是唯一的。
此外，如果
是可微的，那麼它的弱導數與導數相同。因此弱導數是導數的推廣。更進一步，兩個函數的和與積的導數公式對弱導數也是成立的
[2]
。
- 參考資料
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1.
[1]鍾延生. 古典導數與弱導數[J]. 福建師範大學學報(自然科學版),2013,04:120-124.
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2.
[2]柴正猛,李江雲. 無窮維自反空間中集值映射的弱導數及其應用[J]. 雲南民族學院學報(自然科學版),2001,03:380-384.
