曲線斜率

如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s=f（t），那麼汽車在由時刻t₀變到t₁這段時間內的平均速度是[f(t₁)-f(t₀)]/[t₁-t₀]，當t₁與t₀很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t₀到t₁這段時間內的運動變化情況 ，自然就把極限[f(t₁)-f(t₀)]/[t₁-t₀] 作為汽車在時刻t₀的瞬時速度，這就是通常所説的速度。一般地，假設一元函數 y=f(x)在 x₀點的附近(x₀－a ，x₀ +a)內有定義，當自變量的增量Δx= x－x₀→0時函數增量 Δy=f（x）－ f（x₀）與自變量增量之比的極限存在且有限，就説函數f在x₀點可導，稱之為f在x₀點的導數（或變化率)。若函數f在區間I 的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函數，記作 f'，稱之為f的導函數，簡稱為導數。函數y=f（x）在x₀點的導數f'（x₀）的幾何意義：表示曲線l 在P[x₀，f（x₀）] 點的切線斜率。一般地，我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性的法則：設y=f(x )在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）＞0,則f（x）在這個區間是單調增加的。。如果在（a，b）內，f'（x）＜0,則f（x）在這個區間是單調減小的。所以，當f'（x）=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

導數即表示函數在某一點的切線的斜率。例如f'(x)=x^2，在x=4時，f'(x)=16，在x=0時，f'(x)=0，所以在x=0時，f(x)=x^2的切線可看作與x軸平行。

研究某一函數的導數很重要，因為它的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率，而斜率直接關係到在某一個區間函數的增減性。

當對於任意x∈（a，b)都有f'(x)＞0時，函數f(x)在（a，b）是增函數。

而當對於任意x∈（a，b)都有f'(x)＜0時，函數f(x)在（a，b）是減函數。