數學物理方法

本書為西安電子科技大學出版的《數學物理方程》（編者：張民等）的第二版，共分八章，章為數學物理方程的定解問題，學習三類典型數理方程導出的基本理論和定解問題的確定方法；第二章為行波法，學習一維波動問題的達朗貝爾公式、三維波動方程的泊松公式和衝量原理的相關知識和數理方程求解的技巧；第三章為分離變量法，主要討論斯特姆－劉維本徵值問題的求解、直角座標系和正交曲線座標系下的雙齊次問題的分離變量法、非齊次泛定方程的本徵函數展開法和非齊次邊界條件定解問題的邊界條件齊次化原理；配合第三章，在第四章中重點研究特殊函數（勒讓德函數和貝塞爾函數）的性質與應用，進一步學習正交曲線座標系下的分離變量法；第五章為積分變換法，學習傅立葉變換和拉普拉斯變換在數學物理方程中的應用；第六章為格林函數法，主要討論格林函數的基本概念和鏡像法等求解格林函數在數學物理方程中的應用；在第七章中，將學習數學物理方程中的其他常用解法，包括延拓法、保角變換法、積分方程法、漸近解法和變分法，這些方法都是求解數學物理方程的一些常用方法。在第八章中，結合物理、電子工程、通信和材料科學類專業的特點，針對數學物理方程和特殊函數在電磁場等問題中的應用提出多個算例，包括平面波的球面波、柱面波展開，球體電磁散射的Mie理論解等實際問題，利用計算編程，求解問題並給出解的可視化圖形，這些可視化的結果清楚顯示了實際的物理特性，書中給出了相關計算程序。

第1章 數學物理方程的定解問題 1

1.1 基本概念 1

1.1.1 偏微分方程的基本概念 1

1.1.2 三類常見的數學物理方程 2

1.1.3 數學物理方程的一般性問題 2

1.2 數學物理方程的導出 3

1.2.1 波動方程的導出 4

1.2.2 輸運方程的導出 10

1.2.3 穩定場方程的導出 15

1.3 定解條件與定解問題 17

1.3.1 初始條件 17

1.3.2 邊界條件 19

1.3.3 三類定解問題 23

1.4 本章小結 23

習題 24

第2章 行波法 27

2.1 一維波動方程的達朗貝爾公式 27

2.1.1 達朗貝爾公式的導出 27

2.1.2 達朗貝爾公式的物理意義 29

2.1.3 依賴區間和影響區域 31

2.2 半無限長弦的自由振動 32

2.3 三維波動方程的泊松公式 35

2.3.1 平均值法 36

2.3.2 泊松公式 36

2.3.3 泊松公式的物理意義 39

2.4 強迫振動 41

2.4.1 衝量原理 41

2.4.2 純強迫振動 43

2.4.3 一般強迫振動 44

2.5 三維無界空間的一般波動問題 46

2.6 本章小結 48

習題 49

第3章 分離變量法 53

3.1 雙齊次問題 53

3.1.1 有界弦的自由振動 53

3.1.2 均勻細杆的熱傳導問題 57

3.1.3 穩定場分佈問題 60

3.2 本徵值問題 63

3.2.1 斯特姆-劉維型方程 63

3.2.2 斯特姆-劉維型方程的本徵值問題 64

3.2.3 斯特姆-劉維型方程本徵值問題的性質 67

3.3 非齊次方程的處理 72

3.3.1 本徵函數展開法 72

3.3.2 衝量原理法 76

3.4 非齊次邊界條件的處理 77

3.4.1 邊界條件的齊次化原理 77

3.4.2 其他非齊次邊界條件的處理 79

3.5 正交曲線座標系下的分離變量法 82

3.5.1 圓域內的二維拉普拉斯方程的定解問題 82

3.5.2 正交曲線座標系下分離變量法的基本概念 84

3.5.3 正交曲線座標系中的分離變量法 87

3.6 本章小結 90

習題 92

第4章 特殊函數 95

4.1 二階線性常微分方程的級數解 95

4.1.1 二階線性常微分方程的常點與奇點 95

4.1.2 方程常點鄰域內的級數解 95

4.1.3 方程正則奇點鄰域內的級數解 99

4.2 勒讓德多項式 103

4.2.1 勒讓德多項式 104

4.2.2 勒讓德多項式的微分和積分表示 107

4.3 勒讓德多項式的性質 108

4.3.1 勒讓德函數的母函數 108

4.3.2 勒讓德多項式的遞推公式 110

4.3.3 勒讓德多項式的正交歸一性 111

4.3.4 廣義傅里葉級數展開 113

4.4 勒讓德多項式在解數學物理方程中的應用 114

4.5 連帶勒讓德函數 116

4.5.1 連帶勒讓德函數本徵值問題 117

4.5.2 連帶勒讓德函數的性質 119

4.5.3 連帶勒讓德函數在解數學物理方程中的應用 121

4.6 球函數 122

4.6.1 一般的球函數定義 122

4.6.2 球函數的正交歸一性 122

4.6.3 球函數的應用 123

4.7 貝塞爾函數 125

4.7.1 三類貝塞爾函數（貝塞爾方程的解） 125

4.7.2 貝塞爾方程的本徵值問題 128

4.8 貝塞爾函數的性質 129

4.8.1 貝塞爾函數的母函數和積分表示 129

4.8.2 貝塞爾函數的遞推關係 130

4.8.3 貝塞爾函數的正交歸一性 132

4.8.4 廣義傅里葉-貝塞爾級數展開 133

4.9 其他柱函數 136

4.9.1 球貝塞爾函數 136

4.9.2 虛宗量貝塞爾函數 139

4.10 貝塞爾函數的應用 141

4.11 本章小結 146

習題 149

第5章 積分變換法 154

5.1 傅里葉變換 154

5.1.1 傅里葉積分 154

5.1.2 傅里葉變換 155

5.1.3 傅里葉變換的物理意義 157

5.1.4 傅里葉變換的性質 157

5.1.5 δ函數的傅里葉變換 162

5.1.6 n維傅里葉變換 162

5.2 傅里葉變換法 162

5.2.1 波動問題 162

5.2.2 輸運問題 164

5.2.3 穩定場問題 165

5.3 拉普拉斯變換 167

5.3.1 拉普拉斯變換 167

5.3.2 拉普拉斯變換的基本定理 167

5.3.3 拉普拉斯變換的基本性質 171

5.4 拉普拉斯變換的應用 174

5.4.1 用拉普拉斯變換解常微分方程 174

5.4.2 用拉普拉斯變換解偏微分方程 176

5.5 本章小結 182

習題 184

第6章 格林函數法 188

6.1 δ函數 189

6.1.1 δ函數的定義 189

6.1.2 δ函數的性質 189

6.1.3 δ函數的應用 193

6.2 泊松方程邊值問題的格林函數法 194

6.2.1 格林函數的一般概念 194

6.2.2 泊松方程的基本積分公式 195

6.3 格林函數的一般求法 201

6.3.1 無界空間的格林函數 201

6.3.2 一般邊值問題的格林函數 203

6.3.3 電像法 204

6.3.4 電像法和格林函數的應用 212

6.4 格林函數的其他求法 214

6.4.1 用本徵函數展開法求解邊值問題的格林函數 214

6.4.2 用衝量法求解含時間的格林函數 216

6.5 本章小結 219

習題 222

第7章 數學物理方程的其他解法 224

7.1 延拓法 224

7.1.1 半無界杆的熱傳導問題 224

7.1.2 有界弦的自由振動 225

7.2 保角變換法 226

7.2.1 單葉解析函數與保角變換的定義 226

7.2.2 拉普拉斯方程的解 229

7.3 積分方程的迭代解法 231

7.3.1 積分方程的幾種分類 231

7.3.2 迭代解法 232

7.4 變分法 234

7.4.1 泛函和泛函的極值 234

7.4.2 里茲方法 237

7.5 本章小結240

第8章 數學物理方程的可視化計算 241

8.1 分離變量法的可視化計算 241

8.1.1 矩形區泊松方程的求解 241

8.1.2 直角座標系下的分離變量法在電磁場中的應用 243

8.2 特殊函數的應用 247

8.2.1 平面波展開為柱面波的疊加 247

8.2.2 平面波展開為球面波的疊加 251

8.2.3 特殊函數在波動問題中的應用 255

8.2.4 球體雷達散射截面的解析解 259

8.3 積分變換法的可視化計算 274

8.4 格林函數的可視化計算 276

8.5 本章小結279

參考文獻 280