數學物理方法

《數學物理方法》主要內容包括複變函數及其應用和數學物理方程兩大部分。為了教材的完整性，復 變函數部分的一般理論將做簡單的介紹。該部分的重點將放在多值函數單值分枝的確定、留數理論及其應 用、級數和含參數的積分所表示的函數及其性質、積分變換等內容上。數學物理方程部分將從基礎講起， 重點放在分離變量法及其相關的常微分方程特徵值問題和特殊函數、格林函數法、積分變換法等方面的內 容。

《數學物理方法》可作為具備一定數學分析、常微分方程、線性代數、複變函數基礎的本科高年級學 生或工科研究生的教材。本書由羅躍生統稿。

第1章 複數的基本概念

1.1 複數及其運算

1.1.1 複數的定義

1.1.2 實部和虛部

1.1.3 才目等

1.1.4 複數的四則運算

1.1.5 複數的共軛運算

1.2 複數的幾何表示

1.2.1 複平面

1.2.2 復球面

1.2.3 無窮遠點

1.3 複數的冪與方根

1.3.1 複數的乘積與商

1.3.2 複數的冪

1.3.3 複數的根

1.4 複數序列的極限

1.4.1 複數的序列

1.4.2 聚點與極限

1.4.3 複數序列極限存在的充分必要條件——柯西判別法

1.4.4 極限趨於無窮

第2章 解析函數

2.1 複變函數

2.1.1 區域

2.1.2 複變函數的定義

2.1.3 複變函數的極限

2.1.4 複變函數的連續性

2.2 複變函數的導數

2.2.1 導數與微分

2.2.2 可導的充分必要條件

2.2.3 求導的運算法則

2.3 解析函數的定義和判定條件

2.3.1 解析函數的定義

2.3.2 函數解析的充分必要條件

2.3.3 解析函數的運算法則

2.4 解析函數與調和函數的關係

2.4.1 調和函數

2.4.2 共軛調和函數

2.5 單值初等函數

2.5.1 幕函數

2.5.2 指數函數

2.5.3 三角函數和雙曲函數

第3章 多值函數及其單值分支

3.1 對數函數ω=lnz

3.2 冪函數ω=(z-α)α

3.3 反三角函數和反雙曲函數

3.4 多值函數的四則運算

3.5 多值函數的複合函數

第4章 複變函數的積分

4.1 複變函數積分的概念

4.1.1 複變函數積分的定義

4.1.2 積分的計算

4.1.3 複變函數積分的幾個基本性質

4.2 柯西積分定理

4.3 不定積分

4.4 柯西積分公式及其推論

第5章 複數項級數和複變函數項級數

5.1 復級數

5.1.1 複數列

5.1.2 複數項級數

5.1.3 複變函數項級數

5.2 冪級數

5.2.1 冪級數的斂散性質

5.2.2 冪級數∑cnzn收斂半徑的求法

5.2.3 冪級數∑cnzn和的解析性

5.3 解析函數的泰勒展開

5.3.1 泰勒定理

5.3.2 一些初等函數的泰勒展開式

5.4 解析函數的洛朗展開

5.4.1 洛朗級數

5.4.2 環形區域上解析函數的洛朗展開

第6章 留數理論及其應用

6.1 孤立奇點

6.1.1 奇點的分類

6.1.2 零點與極點的關係

6.1.3 解析函數在無窮遠點的性質

6.2 留數定理

6.2.1 留數的概念

6.2.2 留數的求法

6.2.3 在無窮遠點處的留數

6.2.4 留數定理

6.3 用留數定理計算實積分

6.3.1 (sinx，cosx)dZ型積分的計算

6.3.2 f(x)dx型積分的計算

6.3.3 含三角函數的無窮型積分的計算

6.4 積分路線上有奇點類型積分的計算

6.5 多值函數的積分

6.5.1 含多值函數的無窮限反常積分

6.5.2 含有兩個冪函數乘積的積分

6.5.3 利用含有對數函數的被積函數求其他積分

6.6 其他積分例子

第7章 含參變量的積分

7.1 解析函數的定義域延拓

7.2 含參變量的積分

7.3 Γ函數

7.4 B函數

第8章 傅里葉變換

8.1 傅里葉積分公式

8.1.1 傅里葉級數的三角形式

8.1.2 傅里葉級數的復指數形式

8.1.3 非週期函數的展開問題

8.2 傅里葉變換

8.3 單位脈衝函數——δ函數

8.3.1 δ函數的定義

8.3.2 廣義傅里葉變換

8.4 傅里葉積分的性質

8.5 傅里葉變換的應用

第9章 拉普拉斯變換

9.1 拉普拉斯變換的概念

9.2 拉普拉斯變換及其逆變換的定義

9.3 拉普拉斯變換的存在定理

9.4 週期函數的拉普拉斯變換

9.5 關於拉普拉斯變換的積分下限問題

9.6 拉普拉斯變換的基本性質

9.7 象原函數的求法

9.8 拉普拉斯變換的應用

9.8.1 解常係數線性微分方程的初值問題

9.8.2 求解常係數線性微分方程的邊值問題

9.8.3 解某些變係數線性微分方程

9.8.4 求解某些積分方程、微分積分方程

9.8.5 解常係數線性微分方程組

第10章 二階線性常微分方程的級數解法

10.1 二階線性常微分方程的常點和奇點

10.2 方程常點鄰域內的解

10.3 方程正則奇點鄰域內的解

第11章 典型方程的推導及基本概念

11.1 典型方程的導出

11.1.1 弦的微小橫振動方程

11.1.2 在固體申的熱傳導方程

11.1.3 拉普拉斯方程和泊松方程

11.2 定解條件

11.2.1 初始條件

11.2.2 邊界條件

11.2.3 定解問題及其分類

11.2.4 定解問題的適定性

11.2.5 疊加原理

第12章 行波法

12.1 行波法

12.1.1 弦振動方程的達朗貝爾解法

12.1.2 達朗貝爾公式的物理意義

12.1.3 依賴區間、決定區域和影響區域

12.1.4 有累積效應與無累積效應

12.1.5 非齊次方程與齊次化原理

12.2 延拓法求解半無限長振動問題

12.2.1 半無限長弦的自由振動問題

12.2.2 半無限長弦的強迫振動問題

12.3 高維波動方程的初值問題

12.3.1 平均值法求解三維波動方程初值問題

12.3.2 降維法

第13章 分離變量法

13.1 有界弦的自由振動

13.1.1 分離變量法的求解過程

13.1.2 關於求解過程的評註

13.1.3 波動方程的物理意義

13.2 有限長杆上的熱傳導問題

13.2.1 使用分離變量法求解第一類齊次邊界條件的定解問題

13.2.2 使用分離變量法求解其他類型的齊次邊界條件定解問題

13.3 非齊次方程的求解問題

13.4 非齊次邊界條件的處理

第14章 常微分方程的本特徵值問題

14.1 二階線性常微分方程的本徵值問題

14.2 斯特姆-劉維爾方程的本徵值問題

14.3 兩類本徵值問題的相互轉化

第15章 亥姆霍茲方程在不同座標系下的表現形式

15.1 拉普拉斯算子在不同座標系下的表現形式

15.2 球座標系和柱座標系中亥姆霍茲方程的變數分離

15.3 圓內的狄裏希累問題

第16章 勒讓德多項式

16.1 勒讓德方程的求解

16.2 勒讓德多項式的生成函數和遞推公式

16.3 勒讓德級數

16.4 連帶的勒讓德多項式

第17章 貝塞爾函數

17.1 貝塞爾方程及其求解

17.2 貝塞爾函數

17.3 貝塞爾函數的性質

17.3.1 母函數和積分表示

17.3.2 微分關係和遞推公式

17.3.3 半階函數

17.3.4 貝塞爾函數的零點和衰減振盪特性

17.4 貝塞爾方程的固有值問題

17.5 貝塞爾函數的應用

17.6 球貝塞爾函數和變型(虛宗量)貝塞爾函數

第18章 格林函數

18.1 亥姆霍茲方程的格林函數

18.2 格林函數的性質

18.3 廣義格林函數

18.4 全空間上的格林函數——基本解

18.5 求特殊形狀區域內格林函數的電像法

18.6 含時間問題的格林函數及其應用

18.7 格林函數的級數解法

第19章 求解微分方程定解問題積分變換法的普遍原理

19.1 基本原理

19.2 一些積分變換的例子

參考文獻 ^[1]