應用隨機過程

本書是現代應用隨機過程教材，內容從入門知識到學術前沿，包括預備知識、隨機過程的基本類型、Poisson過程、更新過程、Markov鏈、鞅、Brown運動、隨機積分、隨機微分方程及其應用和Levy過程等，本書配有大量與社會、經濟、金融、生物等專業相關的例題和習題，並給出了參考答案，方便自學。

本書可以作為高等院校統計、經濟、金融、管理專業的本科生教材，也可以作為其他相關專業的研究生教材和教學參考書，對廣大從事與隨機現象相關工作的實際工作者也極具參考價值。 ^[2] 

本書的初稿曾在中國人民大學統計學系本科生的教學中多次使用，反映良好.此次出版，我們根據廣大讀者的反饋意見，對部分內容進行了適當調整，對Markov過程的討論更加詳盡，並增加了隨機微分方程和Levy過程等新的內容.

幾十年來，由於實際問題的需要和數學工作者的努力，隨機過程無論在理論上還是在應用上都有了蓬勃的發展.它的基本知識和方法，不僅為數學、概率統計專業所必需，也為工程技術、生物信息及經濟領域的應用與研究所需要.因此，隨機分析的方法越來越受到人們的重視，高等院校的學生、工程技術人員、金融工作者，更迫切地需要學習和掌握隨機過程的知識.本書是為適應這種需求，根據近年來講授這門課的教學實踐所積累的資料，參考國內外有關著作編寫而成.由於隨機過程這門學科發展十分迅速，其內容十分豐富，作為一本大學本科生用教科書，不可能包括其全部內容.因此，我們力圖根據經濟類和管理類本科生教學選擇素材.為適應更廣泛的讀者, 本書着重於隨機過程的基礎知識和基本方法的介紹，特別注重實際應用，儘量迴避測度論水平的嚴格證明，只有第6章的部分內容、第8章和第9章不可避免的用到一些測度論知識.這些內容初學者可以根據各自的基礎進行取捨, 數學基礎稍好、有測度論基礎或對數理金融有興趣的讀者可以選學.為了方便讀者，我們在第1章中用很小的篇幅，對概率測度和積分進行了初步介紹，希望對讀者有所幫助.一般讀者只要具有高等數學及概率論的基礎知識便可閲讀和理解本書的大部分內容.我們建議對大學本科生以54學時講授本書前7章的內容.如果課程設置為60學時以上，則可以講授前8章的全部內容，並對第9章做簡單介紹.如果課時比較少，教師可根據授課對象適當選擇教學內容.

全書大體可分為3個部分.第1部分是預備知識和隨機過程最基本的內容，一般教科書都包含這部分內容（第1，2，3，5章）.第2部分是更新過程，這一內容在許多教科書中沒有單獨討論.考慮到它在應用中的重要性，特別是在人口學和保險論中的應用，故將它放在第4章講授.第3部分包括第6，7，8，9章，鑑於在經濟和金融領域非常廣泛的應用，分別介紹鞅、Brown運動、隨機微分方程及其應用和Levy過程.考慮到實際問題的需要，本書第一次將Levy過程寫入隨機過程的教科書中.

本書配有一些與社會、經濟、金融、管理以及生物等領域相關的例題和習題，以幫助學生加深理解，提高應用隨機過程理論解決問題的能力.為了便於自學，書末給出了大部分習題的答案，供自學者參考.

為了便於有興趣的讀者進一步學習，我們對主要內容增加了一個文獻評註,同時書後列出較多的

參考書目，為這些讀者提供線索.因此，雖然我們強調主要着眼於經濟管理類本科學生，但是對於這些專業的研究生以及某些應用數學和其他理工科的本科生、研究生來説，也不難發現使用本書的方便之處.

本書的編寫得到吳喜之、張堯廷、易丹輝、顧嵐、肖爭豔等許多同仁的鼓勵、支持和幫助；宋士吉教授和劉立新博士分別在清華大學、北京大學和對外經貿大學使用過本書的初稿，並對本書提出了許多寶貴的修改意見；薛芳，李曉明，劉曉華，吳孟書，何豔青，胡威等同學提供了習題參考答案.在此謹表衷心謝意！

同時也要感謝中國人民大學統計學院，使得筆者有機會在教學實踐中完成本書的寫作和修改.還要感謝教育部的支持，將本書列為普通高等教育“十五”國家級規劃教材，使得本書得以順利出版.

由於編者水平所限，書中的缺點錯誤在所難免，敬請讀者批評指正.

編者

2004年2月

第1章預備知識1

1.1概率空間1

1.2隨機變量和分佈函數3

1.3數字特徵、矩母函數與特徵函數7

1.3.1數字特徵7

1.3.2Riemann?Stieltjes積分8

1.3.3關於概率測度的積分9

1.3.4矩母函數和特徵函數11

1.4條件概率、條件期望和獨立性13

1.4.1條件概率13

1.4.2條件期望14

1.4.3獨立性15

1.4.4獨立隨機變量和的分佈16

1.5收斂性17

第2章隨機過程的基本概念和基本類型20

2.1基本概念20

2.2有限維分佈與Kolmogorov定理21

2.3隨機過程的基本類型24

2.3.1平穩過程24

2.3.2獨立增量過程30

習題31

第3章Poisson過程32

3.1Poisson過程32

3.2與Poisson過程相聯繫的若干分佈37

3.2.1Xn和Tn的分佈37

3.2.2事件發生時刻的條件分佈39

3.3Poisson過程的推廣42

3.3.1非齊次Poisson過程42

3.3.2複合Poisson過程45

3.3.3條件Poisson過程46

習題48

第4章更新過程50

4.1更新過程定義及若干分佈50

4.1.1更新過程的定義50

4.1.2N(t)的分佈及E\[N(t)\]的一些性質51

4.2更新方程及其應用54

4.2.1更新方程54

4.2.2更新方程在人口學中的一個應用57

4.3更新定理59

4.4Lundberg?Cramèr破產論64

4.5更新過程的推廣69

4.5.1延遲更新過程69

4.5.2更新回報過程69

4.5.3交替更新過程71

習題73

第5章Markov鏈74

5.1基本概念74

5.1.1Markov鏈的定義74

5.1.2轉移概率75

5.1.3一些例子76

5.1.4n步轉移概率C?K方程81

5.2停時與強Markov性84

5.3狀態的分類及性質85

5.4極限定理及不變分佈92

5.4.1極限定理92

5.4.2不變分佈與極限分佈100

5.5Markov鏈的大數定律與中心極限定理104

5.5.1大數定律與不變分佈104

5.5.2Markov鏈的中心極限定理108

5.6羣體消失模型與人口模型110

5.6.1羣體消失模型（分支過程）110

5.6.2人口結構變化的Markov鏈模型113

5.7連續時間Markov鏈115

5.7.1連續時間Markov鏈115

5.7.2轉移概率pij(t)和Kolmogorov微分方程119

5.8應用——數據壓縮與熵126

習題130

第6章鞅133

6.1基本概念133

6.2鞅的停時定理138

6.2.1停時定理138

6.2.2Doob極大不等式144

6.2.3停時定理的應用——關於期權值的界146

6.3一致可積性149

6.4鞅收斂定理151

6.5連續鞅154

習題156

第7章Brown運動159

7.1基本概念與性質159

7.2Gauss過程163

7.3Brown運動的鞅性質165

7.4Brown運動的Markov性166

7.5Brown運動的最大值變量及反正弦律168

7.6Brown運動的幾種變化172

7.6.1Brown橋172

7.6.2有吸收值的Brown運動173

7.6.3在原點反射的Brown運動174

7.6.4幾何Brown運動174

7.6.5有漂移的Brown運動175

習題176

第8章隨機積分與隨機微分方程178

8.1關於隨機遊動的積分178

8.2關於Brown運動的積分179

8.3It-積分過程183

8.4It-公式187

8.5隨機微分方程191

8.5.1解的存在惟一性定理191

8.5.2擴散過程192

8.5.3簡單例子196

8.6應用——金融衍生產品定價197

8.6.1Black?Scholes模型197

8.6.2等價鞅測度199

習題207

第9章Levy過程與關於點過程的隨機積分簡介209

9.1Levy過程209

9.2關於Poisson點過程的隨機積分210

習題參考答案216

文獻評註247

參考文獻248

本書是“21世紀統計學系列教材”之一，全書共分8個章節，主要對應用隨機過程學的基礎知識作了介紹，具體內容包括隨機過程的基本概念和基本類型、Poisson過程、Markov鏈、Brown運動、隨機積分等。該書可供各大專院校作為教材使用，也可供從事相關工作的人員作為參考用書使用。

第1章 預備知識

1.1 概率空間

1.2 隨機變量與分佈函數

1.3 數字特徵、矩母函數與特徵函數

1.3.1 Riemann-Stieltjes積分

1.3.2 數字特徵

1.3.3 關於概率測度的積分

1.3.4 矩母函數

1.3.5 特徵函數

1.4 收斂性

1.5 獨立性與條件期望

1.5.1 獨立性

1.5.2 獨立隨機變量和的分佈

1.5.3 條件期望

第2章 隨機過程的基本概念和基本類型

2.1 基本概念

2.2 有限維分佈與Kolmogorov定理

2.3 隨機過程的基本類型

2.3.1 平穩過程

2.3.2 獨立增量過程

習題二

第3章 Poisson過程

3.1 Poisson過程

3.2 與Poisson過程相聯繫的若干分佈

3.2.1 Xn和Tn的分佈

3.2.2 事件發生時刻的條件分佈

3.3 Poisson過程的推廣

3.3.1 非齊次Poisson過程

3.3.2 複合Poisson過程

3.3.3 條件Poisson過程

習題三

第4章 更新過程

4.1 更新過程的定義及若干分佈

4.1.1 更新過程的定義

4.1.2 N(t)的分佈及E[N(t)]的一些性質

4.2 更新方程及其應用

4.2.1 更新方程

4.2.2 更新方程在人口學中的一個應用

4.3 更新定理

4.4 Lundberg-Cramer破產論

4.5 更新過程的推廣

4.5.1 延遲更新過程

4.5.2 更新回報過程

4.5.3 交替更新過程

習題四

第5章 Markov鏈

5.1 基本概念

5.1.1 Markov鏈的定義及一些例子

5.1.2 n步轉移概率，C-K方程

5.2 狀態的分類及性質

5.3 極限定理及平穩分佈

5.3.1 極限定理

5.3.2 平穩分佈與極限分佈

5.4 Markov鏈的應用

5.4.1 羣體消失模型(分支過程)

5.4.2 人口結構變化的Markovr鏈模型

5.5 連續時間Markov鏈

5.5.1 連續時間Markov鏈

5.5.2 Kolmogorov微分方程

習題五

第6章 鞅

6.1 基本概念

6.2 鞅的停時定理及其應用

6.2.1 鞅的停時定理

6.2.2 停時定理的應用——關於期權值的界

6.3 一致可積性

6.4 鞅收斂定理

6.5 連續鞅

習題六

第7章 Brown運動

7.1 基本概念與性質

7.2 Gauss過程

7.3 Brown運動的鞅性質

7.4 Brown運動的Markov性

7.5 Brown運動的最大值變量及反正旋律

7.6 Brown運動的幾種變化

7.6.1 Brown橋

7.6.2 有吸收值的Brown運動

7.6.3 在原點反射的Brown運動

7.6.4 幾何Brown運動

7.6.5 有漂移的Brown運動

習題七

第8章 隨機積分

8.1 關於隨機遊動的積分

8.2 關於Brown運動的積分

8.3 Ito積分過程

8.4 Ito公式

8.5 隨機微分方程

8.6 Black-Scholes模型

習題八

習題參考答案

參考文獻