應用隨機過程

本書主要介紹了現代應用隨機過程理論中部分經典的理論，主要內容包括預備知識、隨機 過程的基本概念、泊松過程、布朗運動、條件數學期望與鞅、更新過程、馬爾可夫鏈、隨機積 分與隨機微分 、更新過程、馬爾可夫鏈、隨機積 分與隨機微分方程以及它們在破產理論和金融衍生產品定價方面的應用.本書選材精簡實用，內容安排得當，論述簡潔明澈, 語言平易流暢，具有很好的可讀性.此外，每小節之後都配有精選的習題，便於掌握和鞏固知識. 本書可以作為高等院校統計、經濟、金融、管理以及理工科各相關專業的高年級本科生學習隨機過程的教材或教學參考書，也可作為有關專業碩士研究生的教材和教學參考書，對 廣大從事與隨機現象相關工作的科技工作者也具有參考價值.

目 錄

第 1 章 引論

11.1 預備知識

11.1.1 概率空間

11.1.2 隨機變量5

1.1.3 黎曼-斯蒂爾切斯積分 10

1.1.4 數字特徵 13

1.1.5 矩母函數、特徵函數 15

1.1.6 幾個重要的極限定理 17

習題 1.1.

191.2 隨機過程的基本概念

191.2.1 隨機過程的定義

191.2.2 隨機過程的有限維分佈族和數字特徵

211.2.3 平穩過程 23

習題 1.2.241.3 泊松過程25

1.3.1 泊松過程的概念25

1.3.2 指數流與泊松過程29

1.3.3 指數流的條件分佈33

1.3.4 剩餘壽命與年齡35

1.3.5 非時齊泊松過程 37

習題 1.2. 24

1.3 泊松過程 25

1.3.1 泊松過程的概念 25

1.3.2 指數流與泊松過程 29

1.3.3 指數流的條件分佈 33

1.3.4 剩餘壽命與年齡 35

1.3.5 非時齊泊松過程 37

習題 2.1. 57

2.2 條件數學期望的基本性質與應用 58

2.2.1 條件數學期望的基本性質 58

2.2.2 複合泊松過程 59

2.2.3 條件泊松過程 60

2.2.4 反正弦律 62

2.2.5 其他例子 63習題

2.2. 642.3 鞍的基本概念 65

2.3.1 鞍的概念與舉例 66

2.3.2 上鞍與下鞍 70

2.3.3 鞍的分解定理 72

2.3.4 關於鞍的兩個不等式 74

習題2.3. 75

2.4 停時與停時定理 76

2.4.1 停時的概念 77

2.4.2 停時定理 78?

2.4.3 停時定理的補充 82

習題 2.4. 83

2.5 鞍收斂定理 85

2.5.1 上穿不等式 85

2.5.2 鞍收斂定理 86

習題 2.5. 88

2.6 連續鞍初步

89習題 2.6. 91

第 3 章 更新過程 92

3.1 更新過程的概念 92

3.1.1 更新過程的定義 92

3.1.2 更新次數的極限 93

3.1.3 卷積及其性質 95

3.1.4 更新函數及其基本性質96

習題 3.1. 97

3.2 更新方程和更新定理 98

3.2.1 更新方程及其基本性質 98

3.2.2 更新定理 102

習題 3.2. 106

3.3 更新過程的推廣 107

3.3.1 交替更新過程 107

3.3.2 延遲更新過程 109

3.3.3 更新回報過程

109習題 3.3.

111第 4 章 馬爾可夫鏈 113

4.1 馬爾可夫鏈及其轉移概率 113

4.1.1 基本概念 113

4.1.2 查普曼-柯爾莫戈洛夫方程

115習題 4.1. 118

4.2 狀態的分類及其性質 119

4.2.1 互通 119

4.2.2 常返與非常返狀態 120

4.2.3 正常返和零常返狀態 124

4.2.4 週期與遍歷狀態125

習題4.2. 12

74.3 狀態空間的分解 129

4.3.1 閉集 129

4.3.2 分解定理130

習題 4.3. 132

4.4 極限定理與平穩分佈 135

4.4.1 極限定理 135

4.4.2 平穩分佈136

習題 4.4. 140

4.5 連續時間馬爾可夫鏈 142

4.5.1 概念和基本性質 142

4.5.2 轉移概率的性質 143

4.5.3 柯爾莫戈洛夫向前—向後微分方程 145

習題 4.5. 148第 5 章 隨機積分與隨機微分方程 149

5.1 伊藤積分的定義 149

5.1.1 簡單過程的伊藤積分 149

5.1.2 適應過程的伊藤積分 152習題 5.1. 15

55.2 伊藤積分過程 1555.2.1 伊藤積分的鞍性 155

5.2.2 伊藤積分的二次變差和協變差 156

5.2.3 伊藤積分與高斯過程 158

習題 5.2. 15

95.3 伊藤公式 159

5.3.1 關於布朗運動的伊藤公式 159

5.3.2 伊藤過程與隨機微分 16

25.3.3 關於伊藤過程的伊藤公式 165

習題 5.3. 169

5.4 隨機微分方程 171

5.4.1 隨機微分方程的定義 171

5.4.2 隨機指數和對數 173

5.4.3 線性隨機微分方程的解 176

5.4.4 隨機微分方程解的存在性 177

習題 5.4. 178第 6 章 隨機過程在金融保險中的應用舉例 179

6.1 破產理論 1796.1.1 風險過程與破產概率的相關概念 179

6.1.2 安全負荷與調節係數 182

6.1.3 破產概率的估計 184

習題 6.1. 188

6.2 金融衍生產品的定價 18

86.2.1 金融術語和基本假定 189

6.2.2 定價方法 190

習題 6.2. 192

參考文獻 193