密着拓撲

在拓撲學中，帶有密着拓撲（trivial topology）的拓撲空間是其中僅有的開集是空集和整個空間的空間。這種空間有時叫做不可分空間（indiscrete space），它的拓撲有時叫做不可分拓撲。在直覺上，這有着所有點都被“粘着在一起”而通過拓撲方式不可區分的推論。

密着拓撲是有最小可能數的開集的拓撲，因為拓撲的定義只要求兩個集合是開集。儘管簡單，帶有多於一個元素的密着拓撲空間缺乏關鍵的性質：它不是T₀空間。

密着拓撲屬於偽度量空間，在其中任何兩點之間的距離是 0，並屬於一致空間，在其中全體笛卡爾乘積是

是僅有的周圍。

設

是帶有連續映射的拓撲空間範疇，和

是帶有函數的集合範疇。如果

是指派每個拓撲空間到它的底層集合的函子(所謂的遺忘函子)，並且

是把密着拓撲放置到給定集合上的函子，則

右伴隨於

。（把離散拓撲放置到給定集合上的函子

左伴隨於

。）

在拓撲學中，帶有密着拓撲(trivial topology)的拓撲空間是其中僅有的開集是空集和整個空間的空間。這種空間有時叫做不可分空間(indiscrete space)，它的拓撲有時叫做不可分拓撲。在直覺上，這有着所有點都被“粘着在一起”而通過拓撲方式不可區分的推論。

不可分空間

的其他性質包括:

唯一的閉集是空集和

。

的唯一可能的基是

。 如果

有多於一個點，則由於它不是 T0，它不滿足任何更高的T 公理。特別是，它不是豪斯多夫空間。不是豪斯多夫的，

就不是序拓撲，也不是可度量的。 但是

是正則空間、完全正則空間、正規空間和完全正規空間；儘管是在非常空洞意義上，因為僅有的閉集是

和

。

是緊緻空間因此是仿緊緻空間、林德勒夫空間和局部緊緻空間。 所有定義域是拓撲空間而陪域是

的函數都是連續函數。

是道路連通並因此是連通空間。

是第一可數空間、第二可數空間和可分離空間。 所有

的子空間都有密着拓撲。 所有

的商空間都有密着拓撲。 密着拓撲空間的任意乘積，帶有要麼乘積拓撲要麼盒拓撲，都有密着拓撲。 所有

中的序列都收斂於

的所有點。特別是，所有序列都有收斂子序列（整個序列），因此是

是序列緊緻。 所有集合除了

的內部都是空集。 所有

的非空子集的閉包都是

。在另一種方式下: 所有

的非空子集都是稠密的，這個性質刻畫了密着拓撲空間。 如果

是任何帶有多於一個元素的

的子集，則所有

的元素都是

的極限點。如果

是單元素集合，則所有

的點仍是 S 的極限點。

是Baire空間。 兩個承載密着拓撲的拓撲空間是同胚的，當且僅當它們有相同的勢。 在某種意義上，密着拓撲的對立者是離散拓撲，它的所有子集都是開集。

不可分空間

的其他性質包括：

1、唯一的閉集是空集和

。

2、

的唯一可能的基是

。

3、如果

有多於一個點，則由於它不是

，它不滿足任何更高的分離公理。特別是，它不是豪斯多夫空間。不是豪斯多夫的，

就不是序拓撲，也不是可度量的。但是是正則空間、完全正則空間、正規空間和完全正規空間；儘管是在非常空洞意義上，因為僅有的閉集是

和

。

4、 是緊緻空間因此是仿緊緻空間、林德勒夫空間和局部緊緻空間。所有定義域是拓撲空間而陪域是X的函數都是連續函數。

5、是道路連通，並因此是連通空間。

6、是第一可數空間、第二可數空間和可分離空間。

7、所有

的子空間都有密着拓撲。

8、所有

的商空間都有密着拓撲。

9、密着拓撲空間的任意乘積，帶有要麼乘積拓撲要麼盒拓撲，都有密着拓撲。

10、所有

中的序列都收斂於

的所有點。特別是，所有序列都有收斂子序列（整個序列），因此是

是序列緊緻。

11、所有集合除了

的內部都是空集。

12、所有

的非空子集的閉包都是

。在另一種方式下：所有

的非空子集都是稠密的，這個性質刻畫了密着拓撲空間。

13、如果

是任何帶有多於一個元素的的子集，則所有

的元素都是

的極限點。如果

是單元素集合，則所有的點仍是

的極限點。

14、是Baire空間。

15、兩個承載密着拓撲的拓撲空間是同胚的，當且僅當它們有相同的勢。

在某種意義上，密着拓撲的對立者是離散拓撲，它的所有子集都是開集。密着拓撲屬於偽度量空間，在其中任何兩點之間的距離是0，並屬於一致空間，在其中全體笛卡爾乘積是

是僅有的周圍。設

是帶有連續映射的拓撲空間範疇，和

是帶有函數的集合範疇。如果

是指派每個拓撲空間到它的底層集合的函子（所謂的遺忘函子），並且

是把密着拓撲放置到給定集合上的函子，則

右伴隨於

。（把離散拓撲放置到給定集合上的函子

左伴隨於

。） ^[1]