圓錐曲線論

圓錐曲線亦稱圓錐截線。簡稱錐線。一類重要的二次曲線。它是不過圓錐頂點的平面與圓錐面相交而成的曲線。

設圓錐的半頂角為α，平面與圓錐的軸所成的角為θ：

當θ=α 時，截面和圓錐的一條母線平行，交線是拋物線；

當 α<θ≤π/2 時，截面和所有的母線相交，交線是橢圓，特別當θ=π/2 時，交線時圓；

當 0≤θ<α 時，截面和兩條母線平行，交線時雙曲線。

因此，圓錐曲線包括拋物線、橢圓和雙曲線，統稱圓錐曲線。如果平面過圓錐的頂點，截面與圓錐面的交集有以下幾種情況：

當θ=α 時，平面與圓錐面相切於圓錐的一條母線，可視為退化拋物線；

當α<θ≤π/2 時，平面與圓錐面有惟一公共點（圓錐的頂點），可視為退化的橢圓；

當 0≤θ<α 時，平面與圓錐面相交於兩條母線，可視為退化雙曲線。

這些交集統稱為退化圓錐曲線。一般所謂的圓錐曲線，是指非退化的圓錐曲線。

在平面仿射座標系中，圓錐曲線的方程都是二元二次方程，因此，圓錐曲線又稱為二次曲線。而且平面與任何二次曲面的交線總是二次曲線。例如，圓柱的斜截口即為橢圓。設想在圓錐的頂點 V 處放一點光源，圓在燈光下的陰影一般時圓錐形的，因此，圓錐曲線是圓在中心投影下，在不同平面上的射影。橢圓、拋物線、雙曲線與圓在中心投影下互變的規律性對於航空測量（高空照片的分析）和透視學研究具有重要意義。

圓錐曲線最早是由古希臘學者梅內克謬斯(Menaechmus)進行系統研究的。

到了亞歷山大里亞時期，阿波羅尼奧斯(Apollonius,(P))在他的《圓錐曲線學》中指出同一圓錐的不同截口曲線可以是拋物線（齊曲線）、橢圓（虧曲線）和雙曲線（超曲線），並且研究了圓錐曲線的共軛直徑、切線和法線及其性質，也研究了圓錐曲線的極點和極線的性質。書中沒有談準線，但圓錐曲線是到定點（焦點）和到定直線（準線）的距離之比為常數（離心率）的點的軌跡，對此歐幾里得(Euclid)是知道的，並由帕普斯(Pappus,(A))述及且給出證明，這些對形成近代圓錐曲線的理論有着深遠的影響。

自從笛卡兒(Descartes,R.)引進座標系以來，沃利斯(Wallis,J.)在他的《論圓錐曲線》中，為了闡明阿波羅尼奧斯的結果，把幾何條件轉化為代數條件，第一個證明了動點座標x,y的二元二次方程與幾何裏的圓錐曲線對應，並開始用方程的理論來研究曲線的性質。

16 —17 世紀，隨着機械工業的誕生和航海、建築、造船、採礦等事業的發達，推動了天文學和力學的發展。這時在天文學上發現行星的軌道是橢圓，力學上確定了拋射體的軌道是拋物線等。因此，有關圓錐曲線的深人研究也就成為迫切的需要了。

到了18 世紀,由於歐拉(Euler,L.)等多人的努力，圓錐曲線的現代理論才有了最終的結果。 ^[2] 

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小於1的正常數e。平面內一個動點到兩個定點（焦點）的距離和等於定長2a的點的集合（設動點為P，兩個定點為F1和F2，則PF1+PF2=2a）。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率。

標準方程：

1、中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標準方程：

其中

，

。

2、中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標準方程：

其中

，

。

參數方程：

；

（θ為參數，0≤θ≤2π)。

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數e;平面內一個動點到兩個定點（焦點）的距離差等於定長2a的點的集合（設動點為P，兩個定點為F1和F2，則│PF1-PF2│=2a）定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率。

標準方程：

1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標準方程：

其中a>0，b>0，c²=a²+b²。

2、中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程：

其中a>0，b>0，c²=a²+b²。

參數方程：x=asecθ；y=btanθ （θ為參數）。

文字語言定義：平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是等於1。定點是拋物線的焦點，定直線是拋物線的準線。

x=2pt² ，

y=2pt (t為參數)，

t=1/tanθ（tanθ為曲線上點與座標原點確定直線的斜率）特別地，t可等於0。

y=ax²+bx+c （開口方向為y軸，a≠0） x=ay²+by+c （開口方向為x軸，a≠0)。

橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統一的定義：平面上，到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。且當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。

這裏的參數e就是圓錐曲線的離心率，它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因為拋物線的離心率都等於1，所以所有的拋物線都是相似圖形。

1、在圓錐中，圓錐曲線極座標方程可表示為：

其中l表示半徑，e表示離心率；

2、在平面座標系中，圓錐曲線極座標方程可表示為：

其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。

圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。

圓錐曲線左右焦點為F1、F2，其上任意一點為P(x,y)，則焦半徑為：

|PF1|=a+ex(PF1>PF2)；

|PF2|=a-ex(PF2<PF1)。

P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex；

P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex；

P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey；

P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。

|PF|=x+p/2。

圓錐曲線上一點P（

，

）的切線方程：

以

代替

，以

代替

；以

代替

，以

代替

即得橢圓：

；雙曲線：

；拋物線：

。

圓錐曲線的焦點到準線的距離p，叫圓錐曲線的焦準距，或焦參數。

橢圓：

；

雙曲線：

；

拋物線：p。

橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。

設F₁、F₂分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點，P為橢圓或雙曲線上的一點且PF₁F₂能構成三角形。

若∠F₁PF₂=θ，則橢圓焦點三角形的面積為

；

雙曲線焦點三角形的面積為

。

圓錐曲線中，過焦點並垂直於軸的弦稱為通徑。

橢圓的通徑：

雙曲線的通徑：

拋物線的通徑：2p

已知圓錐曲線內一點為圓錐曲線的一弦中點，求該弦的方程：

1、聯立方程法。

用點斜式設出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯立求得關於x的一元二次方程和關於y的一元二次方程，由韋達定理得到兩根之和的表達式，再由中點座標公式和兩根之和的具體數值，求出該弦的方程。

2、點差法（代點相減法）

設出弦的兩端點座標(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運用平方差公式得[(x₁+x₂)(x₁-x₂)]/a²+[(y₁+y₂)(y₁-y₂)/b²]=0

由斜率為(y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用時注意判別式的問題）

平面直角座標系內的任意圓錐曲線可用如下方程表示：

其中，α∈[0,2π)，p>0，e≥0。

①e=1時，表示以F(g,h)為焦點，p為焦點到準線距離的拋物線。其中

與極軸夾角α（A為拋物線頂點）。

②0<e<1時，表示以F₁(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的橢圓。其中

與極軸夾角α。

③e>1時，表示以F₂(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的雙曲線。其中

與極軸夾角α。

④e=0時，表示點F(g,h)。

五點法求平面內圓錐曲線可以採用該統一方程。代入五組有序實數對，求出對應參數。

注：此方程不適用於圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。

附：當e≠0時，F(g,h)對應準線方程：