聯立方程式

《九章算術》一書在我國和世界上最早列出了聯立方程式。約成書於公元紀元前後的《九章算術》，其第八章“方程”中專門談到了聯立方程式。書中所列的方程，未知數不用符號表示，而是用算籌自上而下羅列各項係數，常數項列於最下，完成一行。二元者，列二行；三元者，列三行。由於算籌的排列方式形如方陣，故稱“方程”。“方程”章介紹了聯立一次方程式的消元解法。以該章第一題為例：“今有上禾三秉（捆），中禾二秉，下禾一秉，實（穀米）三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥，上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？”這相當於現代求解下列三元一次聯立方程式：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

每一個方程中都包含着三個未知數，利用消元的原理依次削減方程中未知數的數目，使之減為二個、一個，就可以求得所需的結果。這和現代代數學中通用的方法實質上是一樣的。

公元13世紀，我國數學家又發明了一種列方程的方法——天元術，用“天”、“地”兩字表示不同的未知數，可解二元高次聯立方程式。元朝朱世傑所著《四元玉鑑》中的四元術，是用天、地、人、物四元表示四元高次方程組。四元術用四元消法解題，條理分明。

公元5世紀後，印度數學家才能解一次聯立方程式。在西方，公元16世紀後才有討論一次聯立方程式的數學書。至於解高次聯立方程式，則更是以後的事情了。

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│Ⅰ　Ⅱ　Ⅲ　 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，

│Ⅱ　Ⅲ　Ⅱ 實三十九鬥，上禾二秉，中禾三秉，

│ 下禾一秉，實三十四鬥，上禾一秉，

│Ⅲ　Ⅰ　Ⅰ　 │

│ 中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。

│〓〓〓　 問上中下禾實一秉各幾何？