橢圓焦點三角形

橢圓的焦點三角形是指以橢圓的兩個焦點F₁,F₂與橢圓上任意一點P（不與焦點共線）為頂點組成的三角形。

（1）|PF₁|+|PF₂|=2a

（2）4c²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|·|PF₂|·cosθ ^[1] 

（3）周長=

（4）面積=

（∠F₁PF₂=θ）

（5）非焦點一側的旁心在長軸上的射影是同側端點

設P為橢圓上的任意一點P（不與焦點共線），

∠F₂F₁P=α ，∠F₁F₂P=β， ∠F₁PF₂=θ，

則有離心率

，

焦點三角形面積

。

證明方法

對於焦點△F1PF2，設PF₁=m,PF₂=n

則m+n=2a

在△F₁PF₂中,由餘弦定理:

(正弦定理的三角形面積公式)

F₁，F₂是橢圓

的焦點，PQ是過F₁的一條弦，求三角形PQF₂面積的最大值

△PF₁F₂與△QF₁F₂底邊均為F₁F₂=2c，之後是聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出

進行分析即可【

】

設點F₁是

的左焦點，弦AB過橢圓的右焦點，求三角形F₁AB的面積的最大值。

【解】

，

，

；

∴

。

假設A在x軸上方，B在下方，且直線過(1,0)。

設直線是

，

代入

，

根據韋達定理，

，

；

因為

，它們的底邊都是

，則求面積和的最小值等價於求高的和的最小值（即

最小）

∵AB在x軸兩側，

∴一正一負，即

所以

令

，則

，則

(分母是對勾函數)。

∴注意到對勾函數取最值的情況是

時，不在p的取值範圍內。而對於對勾函數

，當

時函數單調遞增，則當p=1時，

，此時

。

在橢圓中，我們通常把焦點與過另一個焦點的弦所圍成的三角形叫做焦點三角形，類似地，我們也把頂點與過另一個頂點所對應的焦點弦圍成的三角形叫頂焦點三角形。在橢圓的頂焦點三角形中有許多與橢圓焦點三角形相類似的幾何特徵，藴涵着橢圓很多幾何性質，在全國各地的高考模擬試卷及高考試題中，都曾出現過以“頂焦點三角形”為載體的問題．本文對橢圓的頂焦點三角形的性質加以歸納與剖析． ^[2] 

參考文獻

金美琴．二次曲線的定點弦．《數學通報》2003（7）