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韋達定理

韋達定理説明了一元二次方程中根和係數之間的關係。^[1]

法國數學家韋達（F. Vieta，1540—1603）第一次有意識地使用系統的代數字母與符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推進了方程論的發展，使代數成為一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用更為廣泛，被稱為“代數符號之父”，在研究一元二次方程的解法時，他發現了一元二次方程的根與係數之間存在的特殊關係。^[2] 由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，人們把這個關係稱為韋達定理。^[3]

中文名: 韋達定理
外文名: Vieta theorem
提出者: 弗朗索瓦·韋達

提出時間: 1615年
適用領域: 方程論初等數學解析幾何三角
應用學科: 數學代數

韋達定理定理關係

設一元二次方程

中，兩根x₁、x₂有如下關係：

^[4]

韋達定理數學推導

由一元二次方程求根公式知：

則有：

韋達定理定理推廣

韋達定理逆定理

如果兩數α和β滿足如下關係：α+β=

，α·β=

，那麼這兩個數α和β是方程

的根。

通過韋達定理的逆定理，可以利用兩數的和積關係構造一元二次方程。^[5]

韋達定理推廣定理

韋達定理不僅可以説明一元二次方程根與係數的關係，還可以推廣説明一元n次方程根與係數的關係。

定理：

設復係數一元n次方程

的根為

，則成立：

即：所有根之和為（n-1）次項係數與n次項係數之比的相反數，所有根之積為常數項與n次項係數之比再乘以（-1）ⁿ

注：該推廣形式的證明一般無法根據求根公式進行，因為5次以上的一元方程沒有求根公式。證明步驟較繁瑣，是通過將左邊的多項式因式分解成

之後，再去括號，比較相同次數的項的係數從而得出結論。這個方法具有普遍性，即使是有求根公式的方程，亦可以通過該方法證明韋達定理，而無需藉助求根公式。^[6]

韋達定理發展簡史

公元前 2000 年左右，古巴比倫的數學家就能解簡單的一元二次方程了，古埃及的紙草文書中也有所提及。公元前 480 年，中國數學家使用配方法求得了二次方程的正根，還在方程的研究中應用了內插法，可惜的是，並沒有提出通用的求解方法。

公元 628 年，印度數學家婆羅摩笈多出版了《婆羅摩修正體系》，給出了一元二次方程 x2 + px + q = 0的一個求根公式。公元 820 年，阿拉伯數學家花拉子米出版了《代數學》。書中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知數叫做“根”，承認方程有兩個根，並有無理根存在。同樣可惜，他未認識到虛根這個概念。

16 世紀，意大利的數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。與此同時，法國數學家韋達在研究二次方程時注意到，如果一次項的係數是兩個數之和的相反數，而常數項是這兩個數的乘積，則這兩個數就是這個方程的根。雖然，由於時代的侷限性，韋達當時沒能從理論上證明，但他的數學思想和數學著作都大大充實了數學寶庫。

歷史是有趣的，雖然韋達在 16 世紀就得出了這個定理，但是要證明這個定理卻需要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻在 1799 年才被高斯第一次實質性地論證。1615 年，韋達發表了關於方程論的著作《論方程的整數與修正》。書中對一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進，並揭示了方程根與係數的關係。^[7]