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一元二次方程

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通過化簡後，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。
中文名
一元二次方程
外文名
quadratic equation with one unknown
所屬學科
代數
類    型
數學、代數名詞
定    義
通過化簡後，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程
解    法
直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法
表達式
ax2+bx+c=0

目錄

  1. 1 簡介
  2. 2 發展簡史
  3. 3 解法
  4. ▪ 直接開平方法
  1. ▪ 配方法
  2. ▪ 公式法
  3. ▪ 因式分解法
  4. ▪ 編程解法
  5. 4 根與係數的關係
  1. 5 二次函數的圖像和性質

一元二次方程簡介

一元二次方程的一般形式是
，其中
是二次項，
是二次項係數；
是一次項，
是一次項係數；
是常數項。
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。 [1] 

一元二次方程發展簡史

通過分析古巴比倫泥板上的代數問題，可以發現，在公元前2250年古巴比倫人就已經掌握了與求解一元二次方程相關的代數學知識，並將之應用於解決有關矩形面積和邊的問題。 [2]  相關的算法可以追溯到烏爾第三王朝。 [3] 
在發現於卡呼恩（Kahun）的兩份古埃及紙草書上也出現了用試位法求解二次方程的問題。 [4] 
公元前300年前後，活躍於古希臘文化中心亞歷山大的數學家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命題5、命題6以及卷VI命題12、命題13的內容相當於二次方程的幾何解。
繼歐幾里得之後，亞歷山大數學發展第二次高潮“白銀時代”的代表人物丟番圖（Diophantus）發表了《算術》（Arithmetica）。該書出現了若干二次方程或可歸結為二次方程的問題。這足以説明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式，但仍限於正有理根。不過他始終只取一個根，如果有兩個正根，他就取較大的一個。
中國古代數學很早就涉及二次方程問題。在中國傳統數學最重要的著作《九章算術》中就已涉及相關問題。因此可以肯定，二次方程及其解法自東漢以來就已為人們所熟知了。 [5] 
公元628年，印度數學家婆羅摩笈多（Brahmagupta，公元598-665年以後卒）完成了《婆羅摩修正體系》（Brahma-sphuta-siddhanta），其中有兩章專論數學。在該書中，婆羅摩笈多明確給出了形如
的求根公式：
[8] 
但婆羅摩笈多當時是用語言來表述的，沒有使用符號。
前面敍述的這些數學成就大多是後來的數學史家們考證的成果，而近現代數學中方程思想的源頭一般明確追溯到9世紀初的阿拉伯世界。
公元5-11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期。天主教會成為歐洲社會的絕對勢力。封建宗教統治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣。教會宣揚天啓真理，並擁有解釋這種真理的絕對權威，導致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處於凝滯狀態。由於羅馬人偏重於實用而沒有發展抽象數學，終使黑暗時代的歐洲在數學領域毫無成就。 [6]  在此期間，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面作出了巨大貢獻。
在推翻倭馬亞王朝之後，阿拔斯王朝將首都遷往巴格達，其第二任哈里發曼蘇爾（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效波斯舊制，建立起了完整的行政體制。在最初的100年時間裏，特別是第五任哈里發哈倫·拉希德（Harunal-Rashid，公元786-809年在位）和第七任哈里發馬蒙（al-Ma'mūn，公元813-833年在位）執政時期，是阿拉伯帝國極盛時期，同時阿拉伯帝國的科學文化事業在廣泛吸收古希臘、印度等文明成果的基礎上進入了繁榮昌盛階段。
阿拉伯數學的突出成就首先表現在代數學方面。中世紀阿拉伯數學家對世界影響最大的可説是花拉子密（al-Khwārizmī，約公元783-850年）。約公元820年，花拉子密的著作《還原與對消之書》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，簡稱《代數學》）問世。在該書中，他將“還原（al-jabr）”定義為這樣一種運算，即將方程一側的一個減去的量移到方程的另一側變為加上的量；單詞“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是將方程兩側相等的同類正項消去，此處譯為“對消”。後來的阿拉伯數學家通常用“還原（al-jabr）”一詞來代替整個還原與對消算法，並逐漸用來表示一個數學分支，最終其演變為當代的“代數（algebra）”一詞。
由於花拉子密只承認方程的正根，所以在《代數學》中他將一元二次方程分為六種類型：
①
②
③
④
⑤
⑥
其中
，這樣便窮盡了有正根的一元二次方程的所有可能，同時花拉子密給出了與當代相同的公式解。《代數學》全書沒有符號，但有明確的方程思想，其中“還原與對消”方法作為代數學的基本特徵被長期保留下來，並基本確立了後世阿拉伯代數學中方程化簡（多項式理論）和方程求解這兩條主要發展脈絡。 [7]  正因如此，著名數學史家鮑耶（C.B.Boyer，1906-1976年）將花拉子密稱為“代數學之父”。 [1] 
花拉子密的工作很快被阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約公元850-930年）等阿拉伯數學家繼承並發展。雖然花拉子密的《代數學》在12世紀初已被譯成拉丁文並開始在伊比利亞半島傳播，但對花拉子密代數思想在歐洲傳播起到關鍵作用的是意大利數學家斐波那契（Fibonacci，約1170-1250）。斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci，1202）中系統介紹了印度－阿拉伯數碼，二次和三次方程以及不定方程理論。斐波那契參閲了卡米爾的代數學著作，並指出與一元二次方程有關的理論源自花拉子密。《計算之書》對改變歐洲數學的面貌產生了很大影響，並最終引導了16世意大利代數方程求解方向的突破。
隨着歐洲人在代數學領域的深入研究，包括一元二次方程在內的數學知識進一步向前發展。法國數學家韋達（F.Vieta，1540-1603）給出了代數方程的近似解法與代數方程的多項式分解因式解法，並將數學符號系統化。1637年，笛卡兒（René Descartes，1596-1650）完成了對韋達代數符號的改進並首次應用待定係數法將四次方程分解成兩個二次方程求解。

一元二次方程解法

一元二次方程直接開平方法

一般地，對於方程（I）
（I）（x2=p是最簡單的一元二次方程）
⑴當
時，根據平方根的意義，方程（I）有兩個不等的實數根
⑵當
時，方程（I）有兩個相等的實數根
；
⑶當
時，因為對任意的實數
，都有
，所以方程（I）無實數根。但是方程（I）在複數域內有解
，

一元二次方程配方法

一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成
（II）的形式，那麼就有：
⑴當
時，根據平方根的意義，方程（II）有兩個不等的實數根
⑵當
時，方程（II）有兩個相等的實數根
；
⑶當
時，因為對任意的實數
，都有
，所以方程（II）無實數根，但是在複數域內有解
對於任意的一元二次方程
，配方的方法是在方程兩邊同時加上一次項係數一半的平方。 [1] 

一元二次方程公式法

主詞條：一元二次方程求根公式
任何一個一元二次方程都可以寫成一般形式
（III）
根據用配方法解一元二次方程的經驗來解決這個問題：
移項，得
二次項係數化為1，得
配方，得
即得 ①式
因為
，所以
，式子
的值有以下三種情況：
⑴
這時
由①得
得
方程有兩個不等的實數根
⑵
這時
由①得
方程有兩個相等的實數根
⑶
這時
由①可知
而
取任何實數都不能使
，因此方程無實數根。
一般地，式子
叫做一元二次方程
根的判別式，通常用希臘字母“
”（讀作：[ˈdeltə]）表示它，即
.
由上可知，
當
時，方程
有兩個不等的實數根；
當
時，方程
有兩個相等的實數根；
當
時，方程
無實數根。
當
時，方程
的實數根可寫為
這個式子叫做一元二次方程
的求根公式。
求根公式表達了用配方法解一般的一元二次方程的結果。解一個具體的一元二次方程時，把各系數直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。

一元二次方程因式分解法

把一個一元二次方程整理成一般形式
後，如果能夠較簡便地分解成兩個一次因式的乘積，則一般用因式分解來解這個一元二次方程。
將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積後（一般可用十字相乘法），分別令每一個因式等於零，可以得到兩個一元一次方程。解這兩個一元一次方程，得到的兩個解都是原方程的解。
如果一元二次方程
存在兩個實根
，那麼它可以因式分解為
。
如上所述，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等於0的形式，再使這兩個一次式分別等於0，從而實現降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
注：當方程等號兩邊同時出現同一個整式時，不可以用約分的方法約去相同的整式。

一元二次方程編程解法

用C語言求解一元二次方程的代碼如下 [9]  ：
#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double a ,b , c;
    double delta;
    double x1, x2;
    char ch;
    do
    {

        
        
        printf("請輸入一元二次方程的三個係數：\n");
        
        printf("請輸入係數 a = \t");
        scanf("%lf",&a);
        
        printf("請輸入係數 b = \t");
        scanf("%lf",&b);
        
        printf("請輸入係數 c = \t");
        scanf("%lf",&c);
        
        delta = b*b-4*a*c;
        
        if(delta>0)
        {
            x1= ( -b+sqrt(delta) )/(2*a);;
            x2= ( -b-sqrt(delta) )/(2*a);;
            printf("有2個實數解：x1 = %lf  x2 = %lf\n",x1,x2);
        }
        else if(delta==0)
        {
            x1=( -b+sqrt(delta) )/(2*a);;
            printf("有2個相等實數解：x1=x2 = %lf\n",x1);
        }
        else
            printf("無實數解\n");

        printf("是否繼續嗎：Y/N\n");
        scanf(" %c",&ch);
    }while(ch=='y'||ch=='Y');
    return 0;
}
用python語言求解一元二次方程的代碼如下 [10]  ：
# 導入math模塊
import math
# 定義函數，求解一元二次方程
def quadratic_equation(a, b, c):
    # 計算判別式
    discriminant = b ** 2 - 4 * a * c
    # 如果判別式大於0，則有兩個實數根
    if discriminant > 0:
        root1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
        root2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2 * a)
        return root1, root2
    # 如果判別式等於0，則有一個實數根
    elif discriminant == 0:
        root1 = -b / (2 * a)
        return root1
    # 如果判別式小於0，則無實數根
    else:
        return "無實數根"
# 輸入參數
a = 1
b = 2
c = 1
# 調用函數，求解方程
roots = quadratic_equation(a, b, c)
# 輸出結果
print("方程的根為：", roots)

一元二次方程根與係數的關係

方程
的求根公式
，不僅表示可以由方程的係數
決定根的值，而且反映了根與係數之間的聯繫。一元二次方程根與係數之間的關係表現於以下方面。
從因式分解法可知，方程
的兩根
為和，將方程化為
的形式。把方程
的左邊展開，化為一般形式，得方程
這個方程的二次項係數為1，一次項係數
，常數項
於是，上述方程兩個根的和、積與係數分別有如下關係：
與原方程對照：
等式兩邊同時除以
,得到
於是
,
也可以利用求根公式得，
由此可得
因此，方程的兩個根
和係數
有如下關係：
這表明任何一個一元二次方程的根與係數的關係為：兩個根的和等於一次項係數與二次項係數的比的相反數，這兩個根的積等於常數項與二次項係數的比。

一元二次方程二次函數的圖像和性質

一般地，二次函數
可以通過配方化成
的形式，即
因此，拋物線
的對稱軸是
，頂點是
，如下圖所示，從二次函數
的圖像可以看出：
二次函數的圖像 二次函數的圖像
如果
，當
時，
隨
的增大而減小，當
時，
隨
增大而增大；
如果
，當
時，
隨
增大而增大，當
時，
隨
的增大而減小。
對於二次函數
，
當
時，二次函數
與x軸有兩個交點；
當
，二次函數
與x軸有一個交點（相切）；
當
時，二次函數
與x軸沒有交點。 [1] 
參考資料
  • 1.    課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著．義務教育教科書（九年級數學上）：人民教育出版社，2018
  • 2.    Solomon Gandz.“The Origin and Development of the Quadratic Equations in Babylonian, Greek, and Early Arabic Algebra.”,Osiris,vol.3,1937.
  • 3.    Jöran Friberg.“A Geometric Algorithm with Solutions to Quadratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma”,Cuneiform Digital Library Journal,2009:3.
  • 4.    梁宗巨等．世界數學通史（上）：遼寧教育出版社，2005
  • 5.    （英）李約瑟著；梅榮照譯．中國科學技術史（第3卷：數學、天學和地學）：科學出版社，2018
  • 6.    李文林．數學史概論（第3版）：高等教育出版社，2011
  • 7.    郭園園．代數溯源——花拉子密《代數學》研究：科學出版社，2018
  • 8.    潘有發編. 初等數學史話. 西安：陝西人民教育出版社, 1995:99.
  • 9.    C 語言實例 – 一元二次方程 | 菜鳥教程  ．runoob[引用日期2023-01-31]
  • 10.    python解一元二次方程：解決一元二次方程的Python實現-碼文網  ．runoob[引用日期2023-01-31]