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判別式
鎖定
目錄
判別式定義
判別式即判定方程實根個數及分佈情況的公式。
判別式一元二次方程判別式
判別式一元二次方程根的情況
判別式方程係數為實數
在一元二次方程
中
(1)當△>0時,方程有兩個不相等的實數根;
(2)當△=0時,方程有兩個相等的實數根;
(3)當△<0時,方程沒有實數根,方程有兩個共軛虛根。
(1)和(2)合起來:當△≥0時,方程有實數根。
上面結論反過來也成立,可以具體表示為:
在一元二次方程
(a≠0,a、b、c∈R)中,
①當方程有兩個不相等的實數根時,△>0;
②當方程有兩個相等的實數根時,△=0;
③當方程沒有實數根時,△<0。
(1)和(2)合起來:當方程有實數根時,△≥0。
注意 根的判別式是△=
,而不是△=
。
一元二次方程求根公式:
當Δ=
≥0時,
,當Δ=0時,x=
;
判別式方程係數為虛數
在一元二次方程
(a、b、c是虛數)中
當Δ≥0時,此方程有兩個相等的復根;
判別式一元二次方程判別式的應用
(1)解方程,判別一元二次方程根的情況。
它有兩種不同層次的類型:
①係數都為數字;
②係數中含有字母;
③係數中的字母人為地給出了一定的條件。
(2)根據一元二次方程根的情況,確定方程中字母的取值範圍或字母間關係。
(3)應用判別式證明方程根的情況(有實根、無實根、有兩不等實根、有兩相等實根)。
應用
① 解一元二次方程,判斷根的情況。
② 根據方程根的情況,確定待定係數的取值範圍。
③ 證明字母系數方程有實數根或無實數根。
④ 應用根的判別式判斷三角形的形狀。
⑤ 判斷當字母的值為何值時,二次三項是完全平方式。
⑥ 可以判斷拋物線與直線有無公共點。
⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點
拋物線
與x軸的交點。當y=0時,即有
,要求x的值,需解一元二次方程
。可見,拋物線
與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程
的根的情況確定的,而決定一元二次方程
的根的情況的,是它的判別式的符號,因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形:
1)當Δ>0時,拋物線與x軸有兩個交點,若此時一元二次方程
的兩根為x1、x2,則拋物線與x軸的兩個交點座標為(x1,0)(x2,0)。
2)當Δ=0時,拋物線與x軸有唯一交點,此時的交點就是拋物線的頂點,其座標是(
,0)。
3)當 Δ<0時,拋物線與x軸沒有交點。
⑧ 利用根的判別式解有關拋物線(Δ>0)與x軸兩交點間的距離的問題。
⑨當a>0時,拋物線開口向上,當a<0時,拋物線開口向下。
判別式一元三次方程判別式
在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中,一般採用盛金判別法,即
令
。
當A=B=0時,方程有一個三重實根。
當Δ=B2-4AC>0時,方程有一個實根和一對共軛虛根。
當Δ=B2-4AC=0時,方程有三個實根,其中有一個二重根。
當Δ=B2-4AC<0時,方程有三個不相等的實根。
- 參考資料
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- 1. 復係數一元二次方程的根的判別 .中國知網[引用日期2014-07-15]