虛數

sin(a+bi)=sin(a)cos(bi)+sin(bi)cos(a)

=sin(a)cosh(b)+isinh(b)cos(a)

cos(a-bi)=cos(a)cos(bi)+sin(bi)sin(a)

=cos(a)cosh(b)+isinh(b)sin(a)

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)

r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2[cos(a+b)+isin(a+b)]

r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2[cos(a-b)+isin(a-b)]

r(isina+cosa)ⁿ=

(isinna+cosna)

z₁=a+bi, z₂=a-bi

-(z₁+z₂)=-z₁+-z₂

-(z₁-z₂)=-z₁-(-z₂)

-(z₁z₂)=-z₁-z₂

-(zⁿ)=(-z)ⁿ

-z₁/z₂=-z₁/-z₂

-z²=|z|²∈R ^[5] 

z^m·zⁿ=z^m+n

z^m/zⁿ=z^m-n

(z^m)ⁿ=z^mn

z₁^m·z₂^m=(z₁z₂)^m

(z^m)^1/n=z^m/n

z·z·z…·z（n個）=zⁿ

z₁ⁿ=z₂-->z1=z₂^1/n

ln(a+bi)=ln(a^2+b^2)/2+i Arctan(b/a)

logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna]

x^ai+b=x^ai·x^b=e^ialn(x)·x^b=x^b[cos(alnx) + i sin(alnx). ]

在數學裏，將偶指數冪是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是複數。定義為i²=-1。但是虛數是沒有算術根這一説的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi，也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在複數範圍內看成一個數，起名為複數。虛數沒有正負可言。不是實數的複數，即使是純虛數，也不能比較大小。 ^[2] 

要追溯虛數出現的軌跡，就要聯繫與它相對實數的出現過程。實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是説它是實實在在存在的數。

有理數是伴隨人們的生產實踐而產生的。

無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的“原子論”發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻説明了存在着不可通約的線段。

不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學説中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是説，在他們那裏，正方形對角線與邊長的比不能用任何“數”來表示。西亞他們已經發現了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丟番圖那裏，方程的無理數解仍然被稱為是“不可能的”。

“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制的，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。

人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能解決代數方程的求解問題。像x²+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數範圍內沒有解。12世紀印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。

到了16世紀，意大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年，法國數學家笛卡爾在其《幾何學》中第一次給出“虛數”的名稱，並和“實數”相對應。

1545年，意大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式：

形如：x³+ax+b=0的三次方程解如下：

x={(-b/2)+[(b²)/4+(a³)/27]^1/2}^1/3+{(-b/2)-[(b²)/4+(a³)/27]^1/2}^1/3

當卡丹試圖用該公式解方程x³-15x-4=0時，他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)

在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^1/2的出現。認為是“不可捉摸而無用的東西”。

直到19世紀初，高斯系統地使用了i 這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為複數，虛數才逐步得以通行。

虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用複數來表達的量，因此在很長一段時間裏，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：“虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。”歐拉儘管在許多地方用了虛數，但又説：“一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”

繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把複數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了複平面的概念，終於使複數有了立足之地，也為複數的應用開闢了道路。現在，複數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。

1843年，威廉·羅文·漢密爾頓（William Rowan Hamilton）將平面中的虛數軸的概念擴展到四元數想象的四維空間，其中三個維與複數域中的虛數相似。

隨着多項式環的商環的發展，假想數的概念變得更加顯着，但是也可以找到其他虛數，例如具有+1的平方的tessarines的j。 這個想法首先出現在1848年開始的James Cockle的文章中。

1777年，瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來，寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，a、b都不等於0時叫複數，b等於0時就是實數)。

在工程運算中，為了不與其他符號（如電流的符號）相混淆，有時也用 j 或 k 等字母來表示虛數的單位。

通常，用符號C來表示複數集，用符號R來表示實數集。

在平面直角座標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應着一個複數，稱為複平面。橫軸和縱軸也改稱為實軸和虛軸。在此時，一點P座標為P （a，bi），將座標乘上 i 即點繞圓心逆時針旋轉90度。

不能滿足於上述圖像解釋的同學或學者可參考以下題目和説明：

若存在一個數，它的倒數等於它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？

根據這一要求，可以給出如下方程：

-x = (1/x)

不難得知，這個方程的解x=±i （虛數單位）

由此，若有t'=t×i，將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=t×i將被理解為

-t' = 1/t

即

t' = - 1/t

這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c，相對時間間隔產生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。

虛數成為微晶片和數字壓縮算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。

虛數是用來表示事物中無法構成抽象概念的因素的抽象概念。 ^[3] 

一切事物的值都可表示為：a+bi，而不是單有實數。 ^[4] 

i 的高次方會不斷作以下的循環：

i¹ = i

i²= - 1

i³ = - i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = - 1

...

iⁿ具有周期性，且最小正週期是4。

∴ i⁴ⁿ=1

i⁴ⁿ⁺¹=i

i⁴ⁿ⁺²=-1

i⁴ⁿ⁺³=-i

由於虛數特殊的運算規則，出現了符號 i

當ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i時：

ω² + ω + 1 = 0

ω³ = 1

許多實數的運算都可以推廣到i，例如指數、對數和三角函數。

一個數的ni次方為：

xⁿⁱ = cos(ln(xⁿ)) + i sin(ln(xⁿ)).

一個數的ni次方根為：

x^1/ni= cos(ln(x^1/n)) - i sin(ln((x^1/n)).

以i為底的對數為：

log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.

i的餘弦是一個實數：

cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e² + 1) /2e = 1.54308064.

i的正弦是虛數：

sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.

i,e,π,0和1的奇妙關係：

e^iπ+1=0

iⁱ=e^-π/2

虛數 原作：勞倫斯·馬克·萊瑟（阿姆斯特朗大西洋州立學院）

翻譯：徐國強

虛文自古向空構，艾字如今可倍乘。所問逢人驚詫甚，生活何處有真能？嗟哉小試調音放，訝矣大為掌夜燈。三極管中知用否，交流電路肯鹹恆。憑君漫問荒唐義，負值求根疑竇增。情類當初聽慣耳，事關負數見折肱。幾分繁複融學域，百計聯席悦有朋。但看幾何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。

IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University

Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i."

[①] see "i to i."指可見虛數符號的應用，並諧音雙關see eye to eye 為意見一致引起了爭議

a=a+i

含義為與一切事物皆無聯繫的概念，無論a如何變化，i 都不會變。