單位根檢驗

單位根檢驗是隨機過程的問題。定義隨機序列

，t=1,2,…是一單位根過程，若x_t=ρx_t-1 +ε ， t=1,2… 其中|ρ|<1，{ε }為一平穩序列(白噪音)，且E[ε ]=0, V(ε )=σ <∞, Cov(ε ,ε )=μ <∞這裏τ=1,2…。特別地，若ρ=1，則上式就變成一個隨機遊走序列，因此隨機遊走序列是一種最簡單的單位根過程。將定義式改寫為下列形式：（ 1-ρL）x_t =ε ， t=1,2,…其中L為滯後算子，1-ρL為滯後算子多項式，其特徵方程為1-ρz=0,有根z= 1/ρ。當ρ=1時，時間序列存在一個單位根，此時{x_t }是一個單位根過程。當ρ<1時，{x_t }為平穩序列。而當ρ〉1時，{x_t }為一類具有所謂爆炸根的非平穩過程，它經過差分後仍然為非平穩過程，因此不為單整過程。一般情況下，單整過程可以稱作單位根過程。

單位根檢驗時間序列的單位根研究是時間序列分析的一個熱點問題。時間序列矩特性的時變行為實際上反映了時間序列的非平穩性質。對非平穩時間序列的處理方法一般是將其轉變為平穩序列，這樣就可以應用有關平穩時間序列的方法來進行相應得研究。對時間序列單位根的檢驗就是對時間序列平穩性的檢驗，非平穩時間序列如果存在單位根，則一般可以通過差分的方法來消除單位根，得到平穩序列。對於存在單位根的時間序列，一般都顯示出明顯的記憶性和波動的持續性，因此單位根檢驗是有關協整關係存在性檢驗和序列波動持續性討論的基礎。在經濟、金融時間序列中，常會遇到ρ非常接近1的情況，成為近似單位根現象。近似單位根是介於平穩序列I（0）和單正序列I（1）之間。

在離散時間序列模型中，如自迴歸移動平均（AR-MA）過程，模型的自迴歸部分的‘單位根’表明序列是不平穩的，即隨時間的推進，它並沒有回到給定值的趨勢（長期均值）。模型的移動平均部分的單位根表明當進一步考察過去時間狀態的序列時，此序列不能用一個受到對序列偏差當前估計的觀測影響的自迴歸表示，即序列是不可逆的。 平穩和可逆的ARMA模型，不含單位根，總能被表示成無限階自迴歸或移動平均模型。距離係數滯後於序列本身yt，或修正序列εt，隨時間推移變小。博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）（1976年）提供了很全面的有關ARMA模型的介紹。 ARMA（p， q）模型： y-φ1 y-1-…-φpy-p= εt-θ1εt-1-…-θqεq，或利用滯後算子符號（LkXt≡Xt-k）可表示成φp（L）yt =θq（L）εt。最簡單的情況，自迴歸模型（AR（1））當|φ1=1時，有一單位根（|φ1|<1時模型是平穩的），移動平均模型（MA（1））當|θ1 |=1時，有一單位根（θ1<1時模型是可逆的）。 納爾遜（Nelson）和普洛索（Plosser） （1982年）以及後來許多學者都表明ARMA模型的自迴歸部分出現的單位根在動態經濟模型中有重要的結果。比如，有一個單位根的ARMA模型中經濟變量傾向於回覆到沒有確定性的長期增長路徑上，同時，當進一步預測將來的情形時，經濟序列的水平的不確定性變得更大。因此，對於一個綜合序列（包含一單位根），討論其‘長期’均值或方差是無意義的。根據商業循環模型，單位根意味着至少序列的部分修正導致了序列水平的永久變化。 ARMA模型中自迴歸部分的單位根檢驗問題是複雜的。迪基（Dickey）和富勒（Fuller） （1979年）給出了迴歸的單位根“t-統計量”τ=（φ1-1）/s（φ1）的分佈，它不是學生-t分佈。他們闡述了在一般的AR（p）模型中怎樣應用這個檢驗。根據迪基-富勒檢驗，納爾遜和普羅夏（1982年）稱許多美國年度宏觀經濟時間序列似乎有單位根。他們説，這使人們對假設經濟數據是平穩隨機變量，可能在一個確定性的增長路徑附近發生偏差的動態經濟模型的有用性感到懷疑。 在股票價格研究中，單位根檢驗在進行經濟分析時有重要的作用。有關股票價格（取對數）的隨機遊動模型是帶有單位根的AR（1）模型。許多關於股票市場效率的爭論都以羅伯特·希勒（Robert Shiller）提出的統計方法為中心。特別是，他的“美國總的股票價格和股息是沿着指數趨勢線變化的隨機變量”這一假定已表明對他的“在給定未來股息狀態下，股票價格變化‘太大’”這一結論有重要的影響（參見克萊頓（Klei-don），1986年；馬什（Marsh）和默頓（Merton）， 1986年）。 在迪基-富勒（1979年）之後，一些學者提出了對自迴歸單位根的其他檢驗方法，這些方法對一般的ARMA（p， q）過程是適用的。包括賽義德（Said）和迪基（1984年、1985年）、菲利普斯（Phillips， 1987年）及菲利普斯和珀森（Person） （1988年）等提出的方法。這些方法十分吸引人，因為它們不要求研究者對ARMA過程產生的數據作很強的假設，不付出一定的代價這個好處是不會有的。 施韋爾特（Schwert， 1987年、1989年）用蒙特卡洛（Monte Carlo）試驗表明當數據產生過程不是簡單的AR過程時，這些單位根檢驗方法對有限大樣本效果較差。特別地，施韋爾特用許多美國二次大戰後月度或季度的宏觀經濟時間序列所符合的ARMA（1， 1）過程表明單位根檢驗的樣本容量經常比漸近分佈理論所表達的要大。例如，在有1000個觀察值的樣本下，一個名義上為5%的水平的檢驗可能錯誤地拒絕一個96%可能性有單位根的假設。 並且，用檢驗的功效去區別單位根和自迴歸根的問題在於它們很接近，除非其中一個特別小，換句話説，研究者相信數據生成過程是平穩的，但又含有很強的自迴歸循環；研究者如認為過程不平穩，但用統計檢驗的方法區別其不同未必靠得住。 移動平均過程中的單位根檢驗問題同樣是複雜的。普洛索和施韋爾特（1977年）表明當序列不能消除一個確定的時間傾向時，在MA過程中就會產生單位根。區別單位根和移動平均根很接近的統計問題類似於上面討論的AR過程。 最令人驚訝的是美國月度消費者物價指數通貨膨脹率，實際利率和易變的股票收益等序列可能含有單位根。相關內容可參見納爾遜和施韋爾特，1977年；弗倫斯（Frence）、施韋爾特和斯坦博（Stambaugh）， 1987年；帕甘（Pagan）和施韋爾特，1990年；以及施韋爾特1987年。因為這些序列都是通過百分比增長率來表示的，因此懷疑不平穩的原因就消失了。 像年度資本國民生產總值這樣的序列，是許多有關單位根的實用的宏觀經濟學文獻的焦點，這些可能導致單位根產生的不平穩的來源是容易想象的。比如，技術的進步即經過若干時間積累起來的隨機創造會導致隨機遊動行為。這樣就容易理解名義價格水平可能包含單位根的許多原因。一方面，通貨膨脹率含有一個單位根就意味着（取對數）價格水平含有兩個單位根，和那種行為一致的解釋的集合是明顯地較小。 即使懷疑一特定的經濟序列含有單位根，不平穩的來源也是值得考慮的。比如，在消費者物價指數中不穩定的工藝變化可能引起單位根。但原因僅僅是因為勞動統計局在（產品）質量的改變上沒有予以準確的調整。 在考察經濟時間序列時，對於改變人口統計特徵和計量實踐的程度導致的不平穩，許多經濟學家能恰當地忽視這些因素，因為它對經濟理論影響甚微。另一方面，假如不平穩的結果來自因為技術或偏好的綜和過程，在用數據標定他們錯誤指定的理論化結構時，對（長期）增長模型或（短期）商業循環模型感興趣的經濟學家可能犯嚴重的錯誤。只有認真地分析這些數據，包括用於產生數據的計量知識，才可能解決這些問題。 用來檢驗單位根的統計方法存在的弱點必然要求一些非標準的方法。事實上，許多經濟時間序列顯示了其持續性。關於單位根的爭論看來還要持續很長時間。撇開其他的不談，這些統計學的、經驗的文獻使許多理論學者把注意力集中在系列動態模型上，而這些模型可以幫助理解長期行為。