差分

差分（difference）又名差分函數或差分運算，差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具。它將原函數f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。總而言之，差分對應離散，微分對應連續。差分又分為前向差分、向後差分及中心差分三種。

在社會經濟活動與自然科學研究中,我們經常遇到與時間t有關的變量,而人們往往又只能觀察或記錄到這些變量在離散的t時的值。對於這類變量,如何去研究它們的相互關係,就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具,事實上來源於差分與差分方程.因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動的材料。

讀者熟悉等差數列：a₁ a₂ a_3……a_n……，其中a_n+1= a_n + d（ n = 1,2,…n ）d為常數，稱為公差， 即 d = a_n+1 -a_n , 這就是一個差分, 通常用D(a_n) = a_n+1- a_n來表示，於是有D(a_n)= d , 這是一個最簡單形式的差分方程。

定義. 設變量y依賴於自變量t ,當t變到t + 1時,因變量y = y(t)的改變量Dy(t)= y(t+1) - y(t)稱為函數y(t)在點t處步長為1的(一階)差分，記作Dy₁= y_t+1- y_t，簡稱為函數y(t)的(一階)差分,並稱D為差分算子。 ^[2] 

差分具有類似於微分的運算性質。

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數f(x)，如果在等距節點：

則稱Δf(x)，函數在每個小區間上的增量y(k+1)-yk為f(x)的一階前向差分。在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當是多項式時，前向差分為Delta算子，一種線性算子。前向差分會將多項式階數降低1。

對於函數

，一階向後差分為：

注：差分方程：difference equations ^[3] 

對於函數

，一階中心差分為：

稱為階的差分，即前向階差分 ，如果數學運用根據數學歸納法，有其中，為二項式係數。特別的，有前向差分有時候也稱作數列的二項式變換

首先我們來看在“無限演算”中所使用的

Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]

這是定義微分算子D的性質。“有限演算”基於由

Δf(x)=f(x+1）-f(x)

定義在差分算子Δ的性質上。

差分與微分有許多類似的性質（事實上微分可認為是差分的極限），對於冪函數的微分有

D(x^m) = m * x^(m-1） dx

我們尋找一種類似的差分性質：

設：

Mi(x,m) = x(x-1）（x-2）…（x-m+1） ， 整數 m > 0

Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1）（x+2）…（x+m）），整數 m ≤ 0

那麼

ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1） .

定義了差分，那麼就有其逆算子，我們稱之為 逆差分：

g(x) = Σf(x) + C

Σ為逆差分算子，g(x) 為 f(x) 的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上為任意常數的函數，我們可以使用逆差分來進行求和運算：

Sum[f(x),{x,m,n-1}] （Mathematica語法）

= Sum[g(x+1）-g(x),{x,m,n-1}]

= g(n) - g(m)

注：Sum即Σ逆差分算子。

這裏我們可以求出一些函數的逆差分：

ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1）/(m+1） + C,

Σ1/x = H(x-1） + C,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,

Σ2^x = 2^x + C,

Σ1 = x + C

例 求：

Sum[x^2,{x,0,n}] （Mathematica語法）

= Sum[Mi(x,2） + Mi（x,1），{x,0,n}]

= Sum[Mi(x,2），{x,0,n}] + Sum[Mi（x,1），{x,0,n}]

= (Mi(n+1,3） - Mi(0,3））/3 + (Mi（n+1,2） - Mi（0,2））/2

= n（1+n）（1+2n)/6

因為：

Δ（u(x)*v(x))

= u(x+1）*v(x+1） - u(x)*v(x)

= u(x+1）*v(x+1） - u(x+1）*v(x) + u(x+1）*v(x) - u(x)*v(x)

= u(x+1）*Δv(x) + v(x)*Δu(x)

所以：

v(x)*Δu(x) = Δ（u(x)*v(x)) - u(x+1）*Δv(x)

所以：

Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1）*Δv(x)

例 求：

Σx*H(x)

= ΣH（x）ΔMi（x,2）/2

= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2*ΔH(x)

= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2 * 1/（x+1）

= H(x) * Mi(x,2）/2 - Σx/2

= H(x) * Mi(x,2）/2 - Mi（x,2）/4 + C

差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解，把它變成差分方程，就可以求出近似的解來。　比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程， x取值[0,1] 　（注：解為y(x)=e^(-x)); 　要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1] 　這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組） 　利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。

差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具，常用函數差近似導數。

一階導數的差分表示

由泰勒公式：

取

可得向前差分公式：

取

可得向後差分公式：

取

，

分別取

並將兩式相減，可得中心差分公式：

二階導數的差分表示

由泰勒公式：

取

，

分別取

並將兩式相加，可得中心差分公式：