自迴歸模型

自迴歸模型（英語：Autoregressive model，簡稱AR模型），是統計上一種處理時間序列的方法，用同一變數例如x的之前各期，亦即x₁至x_t-1來預測本期x_t的表現，並假設它們為一線性關係。因為這是從迴歸分析中的線性迴歸發展而來，只是不用x預測y，而是用x預測 x（自己）；所以叫做自迴歸。

p階自迴歸模型的自相關係數拖尾，偏自相關係數p階截尾。 ^[2] 

自迴歸模型被廣泛運用在經濟學、信息學、自然現象的預測上。 ^[1] 

其中： c是常數項；

被假設為平均數等於0，標準差等於

的隨機誤差值；

被假設為對於任何的t都不變。

文字敍述為：X的期望值等於一個或數個落後期的線性組合，加常數項，加隨機誤差。

自迴歸方法的優點是所需資料不多，可用自身變數數列來進行預測。但是這種方法受到一定的限制：

必須具有自相關，自相關係數（

）是關鍵。如果自相關係數(R)小於0.5，則不宜採用，否則預測結果極不準確。

自迴歸只能適用於預測與自身前期相關的經濟現象，即受自身歷史因素影響較大的經濟現象，如礦的開採量，各種自然資源產量等；對於受社會因素影響較大的經濟現象，不宜採用自迴歸，而應改採可納入其他變數的向量自迴歸模型。

向量自迴歸模型是AR模型的推廣。這個概念應當區別於金融風險管理的VaR模型。VaR模型是用於衡量市場風險和信用風險的大小，輔助金融機構進行風險管理和監管部門有效監管的工具。

⒈1995年巴塞爾委員會同意具備條件的銀行可採用內部模型為基礎，計算市場風險的資本金需求，並規定將銀行利用得到批准和認可的內部模型計算出來的VaR值乘以3，可得到適應市場風險要求的資本數額的大小。這主要是考慮到標準VaR方法難以捕捉到極端市場運動情形下風險損失的可能性，乘以3的做法是提供了一個必要的資本緩衝。

⒉Group of Thirty 1993年建議以風險資本（Capital—at—risk）即風險價值法（VaR）作為合適的風險衡量手段，特別是用來衡量場外衍生工具的市場風險。

⒊1995年，SEC也發佈建議，要求美國公司採用VaR模型作為三種可行的披露其衍生交易活動信息的方法之一。

這些機構的動向使得VaR模型在金融機構進行風險管理和監督的作用日益突出。

VAR模型描述在同一樣本期間內的n個變量（內生變量）可以作為它們過去值的線性函數。

例1．Yt = α+βXt-1 + ut, t = 1,2,…,n

本例中Y的現期值與X的一期滯後值相聯繫，比較一般的情況是：

Y_t = α+β₀X_t +β₁X_t-1 +……+β_sX_t-s + u_t,

t = 1,2,…,n

即Y的現期值不僅依賴於X的現期值，而且依賴於X的若干期滯後值。這類模型稱為分佈滯後模型，因為X變量的影響分佈於若干週期。

例2．Y_t = α+βY_t-1 + u_t, t = 1,2,…,n

本例中Y的現期值與它自身的一期滯後值相聯繫，即依賴於它的過去值。一般情況可能是：

Y_t = f (Y_t-1, Y_t-2, … , X_2t, X_3t, … )

即Y的現期值依賴於它自身若干期滯後值，還依賴於其它解釋變量。

在本例中，滯後的因變量（內生變量）作為解釋變量出現在方程的右端。這種包含了內生變量滯後項的模型稱為自迴歸模型。

在這類模型中，由於在X和它的若干期滯後之間往往存在數據的高度相關，從而導致嚴重多重共線性問題。因此，分佈滯後模型極少按（1）式這樣的一般形式被估計。通常採用對模型各系數βj施加某種先驗的約束條件的方法來減少待估計的獨立參數的數目，從而避免多重共線性問題，或至少將其影響減至最小。這方面最著名的兩種方法是科克方法和阿爾蒙方法。