協整關係

由於許多經濟問題是非平穩的，這就給經典的迴歸分析方法帶來了很大限制。由於實際應用中大多數時間序列是非平穩的，通常採用差分方法消除序列中含有的非平穩趨勢，使得序列平穩化後建立模型，比如使用ARIMA模型。但是變換後的序列限制了所討論經濟問題的範圍，並且有時變換後的序列由於不具有直接的經濟意義，使得化為平穩序列後所建立的時間序列模型不便於解釋。

1987年Engle和Granger提出的協整理論及其方法，為非平穩序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經濟變量的本身是非平穩序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩序列。這種平穩的線性組合被稱為協整方程，且可解釋為變量之間的長期穩定的均衡關係。

例如，消費和收入都是非平穩時間序列，但是具有協整關係。假如它們不具有，那麼長期消費就可能比收入高或低，於是消費者便會非理性地消費或累積儲蓄。

假定一些經濟指標被某經濟系統聯繫在一起，那麼從長遠看來這些變量應該具有均衡關係，這是建立和檢驗模型的基本出發點。在短期內，因為季節影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那麼隨着時間推移將會回到均衡狀態；如果這種偏離是持久的，就不能説這些變量之間存在均衡關係。協整(co-integration)可被看作這種均衡關係性質的統計表示。

協整概念是一個強有力的概念。因為協整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩關係。對於每一個序列單獨來説可能是非平穩的，這些序列的矩，如均值、方差或協方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質。 ^[1] 

如果所考慮的時間序列具有相同的單整階數，且某種線性組合（協整向量）使得組合時間序列的單整階數降低，則稱這些時間序列之間存在顯著的協整關係。也就是説，k 維向量 Yt = (y1t，y2t，…，ykt) 的分量間被稱為d,b階協整，記為Yt ～ CI (d，b)，如果滿足： (1) y1t，y2t，…，ykt都是 d 階單整的，即Yt～I (d)，要求 Yt 的每個分量 yit ～I (d)； (2) 存在非零向量β= (β1, β2 , …, βk )，使得β‘ Yt～I (d-b)，0 <b≤d，簡稱 Yt 是協整的，向量β又稱為協整向量。

協整關係存在的條件是：只有當兩個變量的時間序列{x}和{y}是同階單整序列即I(d)時，才可能存在協整關係(這一點對多變量協整並不適用)。因此在進行y和x兩個變量協整關係檢驗之前，先用ADF單位根檢驗對兩時間序列{x}和{y}進行平穩性檢驗。平穩性的常用檢驗方法是圖示法與單位根檢驗法。

圖示法即對所選各個時間序列變量及其一階差分作時序圖，從上圖中可以看到，y變量和x變量的時序圖均表現出明顯的平穩性。