隨機遊動模型

對於AR(1)模型

它的平穩性條件是

。若

，則不滿足平穩性條件。(1)就成為

稱為隨機遊動模型。

表示遊動者在t時刻的位置，

表示向前或向後的步幅。由(2)得到

顯然，

是隨機過程，它是隨機衝擊

在時間上的積累，其圖形如圖1所示。這説明歷史上的任何一次衝擊同目前的衝擊起着同樣的作用，而且不隨時向的推移而消失。這裏

是初始值。因此，這些衝擊隨時間的推移累積起來，其圖像如圖1那樣隨機地漂移，因而這一過程是非平穩的。其自相關函數為

所以

=1，k=0，1，2，…

自相關函數的圖像如圖2所示。

的方差為

由此可見

的方差隨t的增加而不斷增大，因此，是一非平穩序列。

隨機遊動模型的經濟原型，是由統計學家莫里斯·肯德爾(Maurice Kendall)在1953年發現的。其背景是英國皇家統計學會1953年在倫敦開會，討論肯德爾寫的一篇有爭論的論文《經濟時間序列分析》的第一部分：《價格》。肯德爾的初衷是想借助剛問世不久的電子計算機尋找股票價格波動的規律，但研究結果卻有意外的發現，股市價格不但沒有任何規律，而且就像一個醉漢走步一樣，下週的價格等於本週的價格加上一個隨機數字，也就是説股價近似遵從隨機遊動(RandomWalk)模型 ^[2]  。

若(1)是下列形式

式中

為非零常數，

仍是隨機衝擊值，也就是白噪聲序列，則稱(4)為帶漂移項的隨機遊動模型。通過對(4)的直接迭代，可得

這裏

是

的初始值。由此可見

的期望值為

方差為

方差隨t的不斷增加而不斷增大，因此

是不平穩的隨機序列。

若(5)是如下形式

均為常數，則稱(6)為帶線性趨勢項的隨機遊動模型 ^[2]  。