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吉洪諾夫空間
鎖定
吉洪諾夫空間得名於安德列·尼古拉耶維奇·吉洪諾夫(英語:Andrey Nikolayevich Tychonoff),他的俄語名(Тихонов)也翻譯為 “Tychonov”、“Tikhonov”、“Tihonov”或“Tichonov”。
- 中文名
- 吉洪諾夫空間
- 外文名
- Tychonoff space
- 所屬學科
- 一般拓撲學
吉洪諾夫空間定義
吉洪諾夫空間相關概念
假定X是拓撲空間。X是完全正則空間,當且僅當給定任何閉集F和任何不屬於F的點x,存在從X到實直線R的連續函數f使得f(x)為0和f(y)為1對於所有F中的y。用“空想家”術語來説,這個條件聲稱x和F可以由函數分離。
吉洪諾夫空間辨析
注意某些數學文獻對術語“完全正則”和涉及“T”的術語使用了不同的定義。我們這裏給出的定義是今天最常用;但是某些作者切換了兩類術語的意義,或者把它們用做同一個條件的同義詞。在這裏,我們直率的使用術語“完全正則”和“吉洪諾夫”,但避免不太明晰的術語“T”。在其他文獻中,你應該仔細找出作者使用的是什麼術語。
完全正則空間和吉洪諾夫空間通過柯爾莫果洛夫商關聯起來的。拓撲空間是吉洪諾夫空間,當且僅當它是完全正則空間和T0空間二者。在另一方面,一個空間是完全正則空間,當且僅當它的柯爾莫果洛夫商是吉洪諾夫空間。
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吉洪諾夫空間性質
吉洪諾夫空間保持
完全正則性和吉洪諾夫性質關於始拓撲是表現良好的。特別是,選取任意始拓撲保持完全正則性,選取點分離始拓撲保持吉洪諾夫性質。可得出:
- 所有完全正則空間或吉洪諾夫空間的子空間都有相同的性質。
- 非空乘積空間是完全正則(或吉洪諾夫的),當且僅當每個函子空間是完全正則(或吉洪諾夫的)。
吉洪諾夫空間實數值連續函數
完全正則空間可以特徵化為它們的拓撲完全確定自C(X)或C*(X)的性質。特別是:
- 空間X是完全正則的,當且僅當它有引發自C(X)或C*(X)的始拓撲。
- 空間X是完全正則的,當且僅當所有閉集可以被寫為X中零集合族的交集(就是説零集合形成給X的閉集的基)。
- 空間X是完全正則的,當且僅當X的餘零集合形成X的拓撲的基。
給定任意拓撲空間(X,τ)有一種普遍方式對(X,τ)關聯上一個完全正則空間。設ρ是在引發自Cτ(X)的X上的始拓撲,或等價的説,從(X,τ)中的餘零集合的基生成的拓撲。則ρ將是比τ粗的X上的最細完全正則拓撲。這種構造是普遍性的,在任何到完全正則空間Y的連續函數
可以證明在上述構造中Cτ(X)=Cρ(X),所以環C(X)和C*(X)典型的只在完全正則空間X中研究。
吉洪諾夫空間嵌入
吉洪諾夫空間完全就是那些可以嵌入到緊緻豪斯多夫空間內的空間。更精確地説,對於所有吉洪諾夫空間X,存在緊緻豪斯多夫空間K使得X同胚於K的一個子空間。
事實上,你總是可以選擇K為立方體(就是説,單位區間的可能無限乘積)。所有立方體都是緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫定理的一個結論。因為所有緊緻豪斯多夫空間的子空間都是吉洪諾夫空間,所以:
- 拓撲空間是吉洪諾夫空間,當且僅當它可以被嵌入一個立方體中。
吉洪諾夫空間緊緻化
在豪斯多夫緊緻化中,有一個唯一“最一般”的,斯通–切赫緊緻化βX。它由如下泛性質刻畫,給定從X到任何其他緊緻豪斯多夫空間Y的連續映射f,有一個唯一的從βX到Y連續映射g擴張f,在f是g和j的複合意義上。
吉洪諾夫空間一致結構
給定完全正則空間X通常存在多於一個X上的一致結構相容於X的拓撲。但是,總是有最細一致結構,叫做X的精細一致結構。如果X是吉洪諾夫空間,則可以選擇一致結構使得βX成為一致空間X的完全。
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吉洪諾夫空間例子和反例
- 所有度量空間是吉洪諾夫空間;所有偽度量空間是完全正則空間。
- 所有局部緊緻正則空間是完全正則的,因此所有局部緊緻豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
- 特別是,所有拓撲流形是吉洪諾夫空間。
- 所有全序集合帶有序拓撲是吉洪諾夫空間。
- 所有拓撲羣是完全正則空間。
- 推廣了度量空間和拓撲羣二者,所有一致空間都是完全正則的。反過來也是真的:所有完全正則空間是可一致化的。
- 所有CW復形是吉洪諾夫空間。
- 所有正規正則空間是完全正則的,而所有正規豪斯多夫空間是吉洪諾夫空間。
- 參考資料
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- 1. Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings of continuous functions. Reprint of the 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp
- 2. Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
- 3. John L. Kelly.普通拓撲學:Springer,1955
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