函數極限

設函數

在點

的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數

（無論它多麼小），總存在正數

，使得當x滿足不等式

時，對應的函數值

都滿足不等式：

那麼常數A就叫做函數

當

時的極限，記作

函數極限可以分成

，而運用ε-δ定義更多的見諸已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。

以

的極限為例，f(x) 在點

以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數

，使得當x滿足不等式

時，對應的函數值f(x)都滿足不等式：

，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。

問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。

如函數極限的唯一性（若極限存在，則在該點的極限是唯一的）

有些函數的極限很難或難以直接運用極限運算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。

1.夾逼定理：（1）當

時，有

成立

（2）

,那麼，f(x)極限存在，且等於A

不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。

2.單調有界準則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾逼定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

3.柯西收斂準則

數列

收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數

，總存在正整數

，使得當

，

時，且

，有

。我們把滿足該條件的

稱為柯西序列，那麼上述定理可表述成：數列

收斂，當且僅當它是一個柯西序列。

①利用函數連續性：

（就是直接將趨向值帶入函數自變量中，此時要要求分母不能為0）

②恆等變形

當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個小方法解決：

第一：因式分解，通過約分使分母不會為零。

第二：若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。

第三：以上解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的，如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變量的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）

當然還會有其他的變形方式，需要通過練習來熟練。

③通過已知極限

特別是兩個重要極限需要牢記。

④採用洛必達法則求極限

洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。

洛必達法則：符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。