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伊辛模型
鎖定
伊辛模型(Ising model)是一類描述物質相變的隨機過程(stochastic process)模型。物質經過相變,要出現新的結構和物性。發生相變的系統一般是在分子之間有較強相互作用的系統,又稱合作系統。
- 中文名
- 伊辛模型
- 外文名
- Ising model
- 類 型
- 隨機過程,隨機場
- 提出者
- Wilhelm Lenz,Ernst Ising
- 提出時間
- 1920-1924年
- 學 科
- 統計學
- 應 用
- 物理學,統計力學,量子場論
伊辛模型發展歷史
伊辛模型由德國物理學家威廉·楞次(Wilhelm Lenz)在1920年提出以描述鐵磁性物質的內部的原子自旋狀態及其與宏觀磁矩的關係。1924年,楞次的學生Ernst Ising求解了不包含相變的一維伊辛模型
[1]
。20世紀30-40年代,勞倫斯·布拉格(Lawrence Bragg)、E. J. Williams、漢斯·貝特(Hans Bethe)、Rudolf Peierls等學者使用平均場近似理論(mean-field theory)對二維伊辛點陣模型(two-dimensional square-lattice Ising model)進行了研究
[2-4]
。1944年美國物理學家拉斯·昂薩格(Lars Onsager)得到了二維伊辛模型在沒有外磁場時的解析解,即Onsager解
[5]
。
伊辛模型理論
伊辛模型模型
這裏以二維伊辛點陣模型(two-dimensional square-lattice Ising model)為例對伊辛模型進行説明。二維伊辛點陣模型是一個空間隨機場,其中任意點的狀態
可有
兩個取值,並僅受到與其鄰接的點的影響
[6]
:
伊辛模型通常被用於模擬鐵磁性物質(鐵、鈷、鎳)的結構並對其在鐵磁性狀態和非鐵磁性狀態之間的相變(phase transition)進行理論描述。當鐵磁性物質的温度低於居里温度(Curie temperature)時,其內部的原子會按特定方式自旋從而產生宏觀磁矩。對應伊辛模型中
或
的情形,前者表現為鐵磁性(ferromagnetic),後者表現為反鐵磁性(anti-ferromagtic)。當温度高於居里温度時,原子自旋的取向非常紊亂,不產生淨磁矩,對應
的情形。
伊辛模型平均場理論
Weiss分子場理論(Weiss molecular field theory)
Bragg-Williams平均場理論(Bragg-Williams mean-field theory)
Bragg-Williams平均場理論認為,某一陣點上的自旋取某一方向的幾率同近鄰陣點上的自旋取向無關,只同自旋在該方向的數目成正比。每個陣點上有一平均磁場,自旋在陣點上的取向只同該磁場有關。用這種方法可求得下列公式
[7]
:
式中
是每個自旋的磁矩,
是每一陣點的最近鄰數,
是外磁場強度,
是熱力學温度,模型參數
在式中表示自旋同向的最近鄰對之間的相互作用能,
是玻耳茲曼常數。每個自旋上的磁化強度可表示為:
將上式應用於鐵磁性物質的性質,可以得到如下結論:取
為臨界温度(居里温度),當温度高於臨界温度且沒有外磁場時,
,物質不具有鐵磁性;當温度低於居里温度時,
,磁化強度取正值或負值,鐵磁性物質存在相變。這個結論對一維、二維、三維點陣都應成立,
研究表明,二維、三維伊辛模型在臨界温度以上仍有相變,即平均場理論在鐵磁性物質處於臨界温度以上時有侷限性。
伊辛模型求解
伊辛模型一維情形
考慮具有N個自旋的直線鏈,每個自旋僅同它的兩個最近鄰自旋及外磁場相互作用。相互作用的總能量即由
所確定的位形能量是:
伊辛模型二維情形
Onsager解
20世紀40年代Lars Onsager對伊辛模型採用解析法得到了嚴格解,作出了突出的成就。這種方法的基本點,是設每個陣點的自旋變數可取+1和-1兩個值,考慮陣點上自旋的某個位形,計算每個自旋同最近鄰自旋的相互作用能量以及同外磁場相互作用能量,再對全部可能的位形求和,用矩陣的方法求出配分函數,從而得到各個熱力學函數。
以Sl表示第l行的所有自旋座標的集合 上標l(l=1,2,…,L)代表行,下標(1,2,…,n)代表列。邊界條件為。即要求每一行的第n+1列的位形與第1列的相同,每一,Sl有2n個值。整個點陣的位形由 {S1,S2,…,SL}確定。考慮最近鄰自旋對以及自旋同外磁場的相互作用,則配分函數可寫成 為將上式表示成矩陣的形式,引入三個矩陣V1、V2、V3,它們的矩陣元分別定義為 第一式反映不同行最近鄰自旋對的相互作用能量,它有2n×2n個;第二式反映同一行最近鄰自旋對的相互作用能量,它有2n個;第三式反映同一行各個自旋與外磁場的相互作用能量,它也有2n個。為了計算方便,在補上一些“0”元素後,可把V2、V3擴大成2n×2n矩陣的對角矩陣。可以證明 Z1=tr(V1V2V3)L。 當L→∞時,求L×n矩陣的本徵值問題就變成求解2n×2n矩陣的本徵值問題。H.A.克喇末和G.H.萬尼爾等人曾用數字解計算過有限的幾項,他們計算到n=5,發現當n為有限的情形下,沒有相變。 昂薩格在求解時,設外磁場強度H=0,因而V3=1。計算結果表明:高温時,T>Tc(臨界温度),矩陣V=V1V2只有一個最大本徵值υ+;低温時,T<Tc,矩陣V=V1V2有兩個本徵值,當n→∞,L→∞時,配分函數為 並得出平均每個自旋的自由能f為 若,則上式右邊第二項被積函數θ(v)滿足 chθ(v)=ch2βch2β'cosvsh2βsh2β┡。用數值計算,通過上述二式可算出T→Tc時的各個熱力學量,得到以下具體結果,
-f=-fc=kTc(0.9296…),
S=-Sc=kln(1.358)。
其中S為每個自旋的熵。式中的臨界温度Tc滿足方程 或-kTc=2.269185ε。在Tc附近,每個自旋的比熱容可表示為
可見在T=Tc時,自由能、熵以及內能是連續的,這意味着在T=Tc時,發生的相變不包含潛熱。但是時,作為上述熱力學函數的導數,比熱容是對數發散的,無論從高温端還是低温端趨於Tc(即T→Tc+0或T→Tc-0),比熱容с的值是相同的。
為弄清T=Tc處相變的細節,還需進一步考慮自發磁化(即計算自由能對磁場強度H的導數,再讓H=0)。楊振寧於1952年採用微擾法得到了很好的結果。他證明自發磁化強度m(0,T)可表為 式對應於Tc的值。
伊辛模型其它
存在外磁場的二維伊辛模型和更高維情形的伊辛模型使用平均場近似理論進行研究,其解析解沒有被發現,或被認為沒有解析解。
- 參考資料
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- 1. Ising, E., 1925. Beitrag zur theorie des ferromagnetismus [Report on the theory of ferromagnetism]. Zeitschrift für Physik, 31(1), pp.253-258.
- 2. Bragg, W.L. and Williams, E.J., 1934. The effect of thermal agitation on atomic arrangement in alloys. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 145(855), pp.699-730.
- 3. Bethe, H.A., 1935. Statistical theory of superlattices. Proceedings of the Royal Society of London. Series A-Mathematical and Physical Sciences, 150(871), pp.552-575.
- 4. Peierls, R., 1936, October. On Ising's model of ferromagnetism. In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 32, No. 3, pp. 477-481). Cambridge University Press.
- 5. Onsager, L., 1944. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. Physical Review, 65(3-4), p.117.
- 6. Polykovskiy, D. and Novikov, A., Bayesian Methods for Machine Learning .Coursera and National Research University Higher School of Economics.2018[引用日期2018-12-17]
- 7. Advanced Statistical Physics (Statistical Physics II), Chapter 5: Mean-Field Theory .Fakultät für physik, Ludwig-Maximilians Universität München .2018[引用日期2018-12-17]