代數幾何學

用代數的方法研究幾何的思想，在繼出現解析幾何之後，又發展為幾何學的另一個分支，這就是代數幾何。代數幾何學研究的對象是平面的代數曲線、空間的代數曲線和代數曲面。

代數幾何學中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用座標法，但是採用座標法多建立在射影座標系的基礎上。

在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數幾何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數流形。

代數幾何與數學的許多分支學科有着廣泛的聯繫，如數論、解析幾何、微分幾何、交換代數、代數羣、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起着相互促進的作用。同時，作為一門理論學科，代數幾何的應用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數幾何在控制論中的應用。

人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應用代數幾何工具，這預示着抽象的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。 ^[1] 

在20世紀數學史上，代數幾何學（Algebraic Geometry）始終處於一個核心的地位，這從數學界的主要大獎之一，Fields獎（菲爾茲獎）的獲得者情況即可看出，從1936年頒發首屆Fields獎算起，到2002年在中國舉行的國際數學家大會上頒發的第24屆Fields獎為止，總共有45位40歲以下的青年數學家獲獎，其中大約有1/3的人，其獲獎的工作或多或少與代數幾何有一定的聯繫，這説明代數幾何的研究是相當活躍的，一直是Dieudonne意義上的主流數學。為什麼代數幾何的研究會常盛不衰？因為在代數幾何有大量未解決的問題，而且這些難題涉及其他許多學科，正是這些難題和其他學科的刺激，使得代數幾何充滿了活力，充滿了令人神往的創造的生長點。 ^[1] 

黎曼（Riemann）是對現代數學影響最大的數學家之一（之一甚至可以去掉），其中就包括對代數幾何的深刻影響，Dieudonne甚至稱Riemann這個時期的函數論研究是整個代數幾何歷史中最重要的一步，Riemann是通過研究Abel（阿貝爾）函數論涉足代數幾何的。他在研究複變函數時，提出了 Riemann Surface （黎曼曲面）的概念 ，把Abel函數論和Riemann Surface的工作綜合起來，Riemann把代數曲線作為Riemann Surface上的函數論來研究，並且引進第一個birational maps（雙有理） 的不變量——Genus(虧格)，只有在代數幾何裏才有 birational equivalence（雙有理等價）概念，這就使得代數幾何比微分幾何或者拓撲更加的rigid（剛性） 從而開闢了代數幾何的新篇章。

通過genus，Riemann 又提出了Moduli（模空間）的概念，現今這個東西可是大熱門，並且和他的學生Roch（羅赫）得出了代數幾何學中的一條中心定理——Riemann-Roch定理（黎曼-赫定理），此定理是説：設X為虧格g的曲線，D為X上的除子則有：L（D）—L（K—D）=degD+1—g，K是一典範除子，以後對此定理的每一次推廣都是代數幾何中的一大進步，非常深刻的Atiyah-Singer指標定理（阿蒂亞-辛格指標定理）是Riemann-Roch定理的顛峯，Atiyah-Singer指標定理橫跨代數幾何，拓撲，分析學，偏微分方程，多複變函數論等好幾個核心數學領域，並且在物理學中Yang-Mills場論（楊-米爾斯場論）中得到了重要的應用，但是，指標定理的根基還是在代數幾何裏面。

1866年，Riemann 因病去世，此時他才40歲，以Riemann的成績來觀之，足可見Riemann是何等的偉大！斯人已逝，數學上一個輝煌的時代也隨之結束了。Riemann的成就被後來各種流派所繼承，而作出比較重要的工作的是克勒布什（Clebsch），而他的學生 M.Noether（就是那個偉大的E.Noether-諾特-的父親）則用代數幾何的觀點來看待Riemann Surface，幾何化的思想和強烈，而幾乎同時，Dedkind（戴德金）和Weber開闢了以理想為基礎代數方向，Kronecker（克羅內克）則開闢了以除子為基礎的算術方向。這三個方向最後在Grothendieck（格羅滕迪克）那裏匯聚在一起，構成一個大一統的氣勢恢弘的抽象代數幾何體系。 ^[1] 

Dieudonne把代數幾何學的歷史分為七個時期：

前史（prehistory，Ca.400BC-1630A.D），

探索階段（Exploration，1630-1795），

射影幾何的黃金時代（1795-1850），

Riemann（黎曼）和雙有理幾何的時代（1850- 1866），

發展和混亂時期（1866-1920），

湧現新結構和新思想的時期（1920-1950），

最後的一個階段，也就是代數幾何史上最輝煌的時期，層（sheaf）和概型（Scheme）的時代（1950-）。

代數幾何學的對象原來是歐氏平面中的代數曲線，即由多項式P（x，y）=0定義的軌跡，比如最簡單的平面代數曲線——直線和圓，古希臘時代就已經在研究圓錐曲線和一些簡單的三次，四次代數曲線了。承前述可以看出，研究代數方程組的公共零點集離不開座標表示，所以，真正意義上的研究還得從Descartes（笛卡爾）和Fermat（費馬）創立幾何圖形的座標表示開始説起，但這已經是17世紀的事情了。解析幾何學對於代數曲線和曲面已經有相當完整的結果了，從Newton（牛頓）開始已着手對三次代數曲線進行分類，共得出72類。

從這時起，分類問題便成為代數幾何中的重要問題了，這些問題成為大量研究工作的推動力。但是，反過來，正是由於對三次的或四次的代數曲線進行的分類過於繁複，從而推動了解析幾何學向代數幾何學的過度，也就是在更加粗糙的水平上進行分類和進行一般的理論研究。

18世紀，AG（代表代數幾何，以下類同）的基本問題是代數曲線或代數曲面的相交問題，相當於代數方程組中的消元問題，這個時期得到的基本成果是Bezout定理（貝竹定理）：

設X，Y是P^2中兩支不同的曲線，次數分別為d和e，令X#Y={P_1, P_2,......P_s}是它們的交點, 在每個點處的相交數分別記為 I(X,Y;P_j), 則

∑I(X,Y;P_j)=de。

隨着19世紀射影幾何學的興起，開始用射影幾何方法來研究代數曲線，其中引進了無窮遠點及虛點和用齊次多項式及射影座標P （X_0,X_1,X_2)=0來表示代數曲線，並且允許出現復座標，1834年，德國數學家普呂克爾得出關於平面曲線的普呂克爾公式，這個公式把平面代數曲線的代數特徵和幾何特徵聯繫起來了，如次數和拐點數等，特別是由此證明了一般三次代數曲線(即橢圓曲線)皆有9個拐點，1839年，他還發現四次曲線有28條二重切線，其中至多8條是實的。

上面就是前三個階段代數幾何學的一個概貌。 ^[1] 

從19世紀80年代末起，意大利的代數幾何學派繼承了M.Noether的幾何思想，開始了代數曲面的研究，學派的主要代表人物是Castelnuovo，Enriques和Severi，他們主要是進行代數曲面的分類工作，與此同時法國數學家如Poincare（龐加萊）和Picard（畢卡）卻在用超越方法研究代數曲面。承前可以看出，Riemann 以後的人都是在盡力繼承和推廣Riemann 的工作，可以説Riemann 的主要思想是所有人的基礎，而Riemann光於曲面的最重要的思想都與複分析有關，所以，古典代數幾何的一個大框架還是三維復射影空間CP^n中的代數曲線和曲面。

隨着數學的發展，人們對高維空間的需要越來越明顯，所以，代數幾何中對高維代數簇的研究已不可避免，而且意大利幾何學派的代數幾何不夠嚴密，急需牢靠的理論基礎來支撐其只管的思想，意大利幾何學派在分類代數曲面上已經走到了盡頭，而在同時期，數學的另外一個分支，代數數論卻湧現出了許多新的思想，出現迅猛發展的勢態。（經典）代數數論是研究代數數域和它的代數整數環的代數和算術性質的，而高維代數簇是基本域K上代數方程組的解，比如一維代數簇就是K上的代數曲線，考慮代數簇上的整數點，這就成了數論問題，又根據德國F.Klein（克萊因）的Erlangen 綱領（愛爾蘭根綱領），幾何學是研究某些數學對象在某個羣作用不變量的理論，如果要尋找代數幾何中的作用羣的話，那麼就代數簇之間的雙有理變化羣，所以，代數幾何學的抽象化已經成了它繼續向前發展的巨大動力和迫切需要。對其抽象化的工具也正在夜以繼日的被鍛造，抽象代數學之母E.Noether及其學派發展了一整套強大的抽象工具，E.Noether的學生Van Der Waerden首先把抽象代數學引進代數幾何裏，接下來的一位重要人物是Zariski，他先是從師於意大利代數幾何學派的Castelnuovo，但是對此學派工作的不嚴密性耿耿於懷，從而促使他立意改造古典的代數幾何，先是在Lefchetz（萊夫西茲）的影響下用拓撲工具處理代數幾何問題，但成效不大，後來瞭解到E.Noether及其學派的工作，大為振奮，遂集中精力運用代數方法重新改寫古典的代數幾何，《代數曲面》一書的完成標誌着代數幾何的抽象化真正開始了，也標誌着代數幾何研究進入了Zariski時代。 ^[1] 

從這時起，代數幾何裏開始人才輩出，並且法國的Bourbaki學派在以後代數幾何學發展的光輝歲月裏扮演了一個主要角色，Bourbaki學派的主要代表人物之一Weil（韋伊）用更加抽象的觀點寫了一部《代數幾何基礎》，Weil的本意是想用有限域上的代數幾何學來解決代數數論的問題，卻不料搞出了個Weil猜想（不是Deligne證明的那個Weil conjecture），為了證明這個猜想就特意寫了這部抽象的書，從此，代數幾何又進入了Bourbaki時代。後來Serre（塞爾）評價那部書時説：這本三百頁的鉅著很難懂，而在20年後又被Grothendieck的更加難懂的《代數幾何原理》所代替“這個《代數幾何原理》就是江湖上傳説的EGA。 Weil在書中充分使用了E.Noether及其學派發展的交換代數理論和語言，提出了代數幾何裏的一些重要概念，是代數幾何學發展中的一個里程碑。

所幸的是，書寫出來後，先前那個猜想也被Weil證明了。這個事件意義重大，預示了以後的Bourbaki精神，為了抽象而抽象，而是有着具體的問題背景的，以此為出發點的抽象才是有意義的抽象，才有成效性，才能用來解決更加困難的問題。 ^[1] 

代數幾何沿着Weil的道路進行着它的抽象化征程，其間，Kodaira（小平邦彥）用調和積分理論將Riemann-Roch定理由曲線推廣到曲面，德國數學家Hirzebruch不久又用sheaf的語言和拓撲成果把它推廣到高維複流形上，J-P.Serre在sheaf的基礎上定義了一般的代數簇，使得代數簇成為具有Zariski拓撲的拓撲空間，從而在代數幾何裏引入了日後起重要作用的上同調理論，不過，Serre在代數幾何裏最重要的貢獻，我覺得是吸引Grothendieck到代數幾何裏來。

自從Grothendieck介入代數幾何後，代數幾何的面貌完全改觀，儘管在代數幾何裏王者輩出，但是，大家心目中的教皇只有一個，那就是偉大的Grothendieck。Grothendieck是法國數學家，Bourbaki成員，1928年生於德國柏林，由於第二次世界大戰，致使他沒有受到正規的大學階段的數學訓練。 1953年以前主要致力於泛函分析，創造了核空間，拓撲張量積等概念，這些概念現於泛函分析裏十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他躋身於數學界的巨人行列，但是，他的影響更為深遠的工作是後來在代數幾何上劃時代的貢獻，代數幾何學經過Van Der Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推廣，代數簇已經完全抽象化了，但是，代數簇最徹底的推廣則是Grothendieck在20世紀50年代末做出的，這就是他的抽象概型理論和強有力的上同調理論。仿射概型（Affine Schemes）是一個局部戴環空間（X，Ox），而且它同構於（作為局部戴環空間）某個環的譜。概型是局部戴環空間，在它中每點有一個開鄰域U使得拓撲空間U和限制層Ox|U是一個Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承載拓撲空間，Ox叫做它的結構層。例如，若K是域，Spec K則是一個Affine Schemes，它的拓撲空間由一點組成，它的結構層由域K組成。Grothendieck為了給它的這座大廈打下堅實的基礎，和他的老師 Dieudonne合作寫了一部四卷本的鉅著，總共有7本書，這就是前面Serre提到過的”更加難懂的《代數幾何原理》“，(《Ele\’ments de Ge\’ome\’trie Alge\’brique 》簡稱EGA，道上的朋友只要聽到EGA，就知道你要説什麼了)，這是世界上概型和上同調最權威的參考文獻，Dieudonne評價説：” Clearly, the theory of schemes includes ,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代數幾何和代數數域的算術統一到一個共同的語言之下，使得在代數數論的研究中可以應用代數幾何中的大量概念和思想以及技巧。

開始的時候，人們對Grothendieck這套龐大的抽象體系究竟有什麼用感到非常的茫然，但是，在Deligne使用Grothendieck的理論證明了高維Weil猜想後（這是Weil的另外一個猜想，是有限域上高維代數簇的Riemann猜想的模擬），情形就發生了劇烈的變化，到了70年代末，這套概型語言和上同調機制已經被許多同行所熟悉和掌握，並已成為研究現代代數幾何學與數論（主要是指算術幾何）的通用語言和基本工具。1983年 Faltings（法爾斯廷）證明Mordell猜想也使用了這套機制，由此可見Grothendieck所建立的這套概型理論是多麼的重要。1973年Deligne 證明的高維Weil猜想是特徵P（有限域上）的算術幾何的巨大進步，10年後Faltings所證明的Modell猜想則是特徵0（整體域上）的算術幾何的巨大突破，這裏又一次説明了能解決具體問題的抽象才是好的抽象，才是有意義的，為抽象而抽象的工作最終將被人們遺棄。Grothendieck的另一個目標是致力於發展各種上同調理論，如L—adic上同調和etale上同調，以致最後他走向了”終極上同調不變量“，即動機理論（motive theory），使得所有其他的上同調理論都是它的一種表示或者化身（即它的具體化），這個理論隨着1970年 Grothendieck的”金盆洗手“，也成了一個美麗的Grothendieck之夢。不過，已經由它產生了大量好的數學，如1970年Deligne和 R.Langlands猜想motives和自守表示之間的精確關係，A.Wiles的FLT(費馬大定理)的證明，本質上就是證明了這個猜想在橢圓曲線所產生的2維 motievs的特殊情況，這個猜想使得motives和現今著名的Langlands綱領聯繫起來了，而且2002年菲獎得主Voevodsky的工作也與motives有關，Grothendieck的夢想或許有一天又會成為一個偉大的理論。 ^[1] 

Grothendieck在代數幾何學方面的貢獻大致可分為10 個部分：

1、連續與離散的對偶性；

2、Riemann-Roch-Grothendieck理論（主要是K理論與相交理論的關係）；

3、Scheme theory；

4、拓撲斯（Topis theory）；

5、L—adic上同調和etale上同調；

6、motives與motives的Galois Group（包括Grothendieck的圈範疇），

7、晶體與晶狀上同調，de Rahm係數，Hodge係數理論；

8、新的同倫代數，Topis的上同調；

9、穩和拓撲；

10、非交換的代數幾何學，加羅瓦—泰什繆勒理論。

這些思想被總結在EGA，SGA和FGA 以及其他大量的手稿中，EGA和SGA已經成為代數幾何中的聖經了，EGA，SGA和FGA加起來大約有7500頁。 Grothendieck的博大精深的理論還遠遠沒有弄清楚，但是卻已經產生了非常深刻的數學成果。代數幾何學與其他許多學科都有着密切的聯繫，如拓撲學，微分幾何，復幾何，分析，代數，數論等，並且在現代理論物理中也有重要的應用，被Atiyah（阿蒂亞）稱為 21世紀的三大數學理論的算術幾何更是與代數幾何息息相關，抽象代數幾何學必將在21世紀得到更進一步的發展，繼續成為21世紀的主流數學領域。我國研究代數幾何的人比較少，水平也比較低。代數幾何學的震撼人心的魅力將會吸引一批有天才的人，去投身21世紀的數學輝煌時代的締造工作。 ^[1]