三角形垂心

設⊿ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分別為a、b、c

1、鋭角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.

2、鋭角三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者説，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；

3、 垂心H關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。

4、 △ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、 H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。

7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、 三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。

9、 設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、 鋭角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

11、鋭角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

12、

西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

13、 設鋭角⊿ABC內有一點P，那麼P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求證：它的三條高交於一點。

證明：如圖1：作BE⊥AC於點E，CF⊥AB於點F，且BE交CF於點H，連接AH並延長交BC於點D。

現在我們只要證明AD⊥BC即可。

因為CF⊥AB，BE⊥AC 所以 四邊形BFEC為圓內接四邊形。

四邊形AFHE為圓內接四邊形。

所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB

由∠FAH=∠FCB得

四邊形AFDC為圓內接四邊形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。

點評：以上證明主要應用了平面幾何中的四點共圓的判定與性質。

還可以通過向量證明。

已知△ABC的兩條高AD,BE相交於H，連接CH，求證CH⊥AB

證明：設HA=a，HB=b，HC=c

則BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a

∵HA⊥BC，∴a*（c-b）=0

即a*c=a*b

同理，b*c=a*b

∴a*c=b*c，即c*（b-a）=0

∴CH⊥AB

證法三：運用三角形三邊垂直平分線交於一點來證明。

已知：△ABC中，AD,BE,CF是高。求證：AD,BE,CF相交於一點。

證明：過A作直線a∥BC,過B作直線b∥AC,過C作c∥AB，設a與b交點為C'，a與c交點為B’，b與c交點為A‘

∵AC’∥BC,AC∥BC'

∴四邊形ACBC'是平行四邊形

∴AC'=BC

同理，AB'=BC

∴AB'=AC',A是B'C'中點

∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B‘C’的垂直平分線

同理，BE是A'C'的垂直平分線，CF是A'B'的垂直平分線

∵三角形三邊的垂直平分線交於一點

∴AD,BE,CF交於一點

向量HA*向量HB=向量HB*向量HC=向量HC*向量HA（ABC為三角形三個頂點，H為垂心）