內接三角形

三頂點都在一個圓周上的三角形，叫做這個圓周的內接三角形，而這個圓周叫做該三角形的外接圓。任何一個三角形都有且僅有一個外接圓，外接圓的中心是三角形三邊中垂線的交點；如果三角形是鋭角三角形時，那麼外接圓的中心在三角形的內部，如果是鈍角三角形時，那麼外接圓的中心則在三角形的外部，在直角三角形時，外接圓的中心則是斜邊的中點。

三角形外接圓的半徑計算公式為：

其中

是三角形的邊；

是半周長，

是三角形的面積；

分別是三角形的邊

所對的內角。 ^[1] 

外切三角形：三邊都與一個圓相切的三角形叫做這個圓的外切三角形，而這個圓叫做該三角形的內切圓。在任何一個三角形裏，都能作且只能作一個內切圓，內切圓的中心O是三角形的內角平分線的交點。三角形內切圓的半徑計算公式為：

1．如圖1，已知在△ABC中，AD和BD分別平分∠BAC和∠ABC，延長AD交△ABC外接圓於E，連結BE，求證：BE=DE。

證明： 如圖1，

説明: 三角形內角平分線的交點是三角形的內心，所以本題可敍述為如下命題：“三角形一個角所對外接圓圓弧的中點到另外兩個角的頂點的距離。等於它到這個三角形的內心的距離．” ^[2] 

2．如圖2，已知圓O是△ABC的外接圓，AD⊥BC於D，AE平分∠BAC，交圓O於E，求證：AE平分∠OAD。

證明: 如圖2，連結OE。

平分

平分

説明: 圖2中從頂點A引出的三條線段AO、AE、AD分別經過△ABC的外心、內心、垂心，所以本題給出了聯繫三角形外心、內心、垂心的一個幾何性質。 ^[2] 

3．如圖3，已知H、O分別是△ABC的垂心和外心，OL⊥BC於L，求證：AH=2OL。

證明： 如圖3，作OM⊥AC於M，則M是AC的中點，連結ML。

於

是

的中點，

是△ABC的一條中位線，

同理，

又

LM是△ABC的中位線，

説明: (1)構造兩個三角形相似，利用相似比來證等比式是本題證明的思路。

(2)本題可敍述為關於三角形垂心和外心的一個命題：“三角形垂心到一個角的頂點的距離等於外心到這個角對邊距離的兩倍”。 ^[2] 

①三角形的外接圓有關定理：三角形各邊垂直平分線的交點，是外心。外心到三角形各頂點的距離相等。外心到三角形各邊的垂線平分各邊。

② 三角形的內切圓有關定理：三角形各內角平分線的交點，是內心。內心到三角形各邊的距離相等。三角形任一頂點到內切圓的兩切線長相等。三角形頂點到內切圓的切線長，是這點到圓心的距離與它圓外部分的比例中項。