內心

內心定理：三角形的三個內角的角平分線交於一點，該點叫做三角形的內心。內心到三邊的距離相等。

[注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。]

若三邊分別為l₁，l₂，l₃，周長為p，則內心的座標為(l₁/p,l₂/p,l₃/p)。

直角三角形的內心到三邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

設△ABC的內切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形內心為I

1、三角形的三個角平分線交於一點，該點即為三角形的內心。

2、三角形的內心與三角形位置關係：現有AI交BC於點D；BI交CA於點E；CI交AB於點F,三角形內接圓分別交BC,CA,AB於X,Y,Z。

（1）IX:IY:IZ=1:1:1

（2）BD:DC=c:b;CE:EA=a:c;AF:FB=b:a

（3）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)

（4）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))

（5）△IBC,△ICA,△IAB面積比為a:b:c

3、r=S/p。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內心的必要條件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內心的充要條件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₃，y₃)，那麼△ABC內心I的座標是：

[ax₁/(a+b+c)+bx₂/(a+b+c)+cx₃/(a+b+c)，ay₁/(a+b+c)+by₂/(a+b+c)+cy₃/(a+b+c)]。

9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI²=R²-2Rr。

10、內角平分線分三邊長度關係：如圖1：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，d=AD。設R₁是△ABD的外接圓半徑，R₂是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC

證明：由正弦定理得

b/sinB=c/sinC，d=2R₁sinB=2R₂sinC，

∴R₁/R₂=sinC/sinB=c/b.

又BD=2R₁sinBAD， CD=2R₂sinCAD，∠CAD=∠BAD，

∴BD/CD=R₁/R₂=c/b=AB/AC

11、內切圓半徑r=

在△ABC中

∵ 角平分線上的點到角的兩邊距離相等

∴ 內心距三邊距離都相等

即在三條角平分線的交點處。