三角形內心

證明：如圖1所示

作∠B、∠C的角平分線於AC、AB交於F、D

CD與BF交於I，連接AI交BC並延長至E

由塞瓦定理有：

∵BF、CD為角平分線

∴由角平分線定理有：

由角平分線定理的逆定理有AE為∠A的角分線

證畢

設△ABC的內切圓為☉I(r)，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r

2、∠BIC=90°+∠BAC/2

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形內切圓切BC於D，則S_△ABC=BD×CD

4、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

5、在△ABC中，內心的座標是：

6、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，外心和內心的距離為d，則d²=R^2-2Rr

7、△ABC中：a,b,c分別為三邊，S為三角形面積，則內切圓半徑r=2S/(a+b+c)

8、雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。

9、△ABC中，內切圓分別與AB，BC，CA相切於P，Q，R，

則AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,

r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、三角形內角平分線定理：△ABC中，I為內心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的內角平分線分別交BC、AC、AB於A'、B'、C',則BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB.

1.做出△ABC的兩個內角的平分線，交於一點，該點即為三角形內心。

2.做出△ABC的外接圓O，過圓心O分別作AC、BC（任意兩邊）的垂線，兩條垂線與圓O交於E、F，連接AF、BE交於點I，則點I即為內心。

內切圓的半徑

（1）在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

（2）在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)

（3）任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C為周長）