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角平分線定理
鎖定
角平分線定理1是描述角平分線上的點到角兩邊距離定量關係的定理，也可看作是角平分線的性質。
角平分線定理2是將角平分線放到三角形中研究得出的線段等比例關係的定理，由它以及相關公式還可以推導出三角形內角平分線長與各線段間的定量關係。
- 中文名
- 角平分線定理
- 外文名
- The theorem of angle bisector
- 應用學科
- 數學術語
- 範 疇
- 數理科學
- 驗證方法
- 面積法等
- 學科科目
- 幾何學
角平分線定理定理定義
三角形的一個角（內角）的角平分線交其對邊的點所連成的線段，叫做這個三角形的一條角平分線。
角平分線定理定理1
角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。
證明：如圖1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
圖1 定理1證明圖
∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C
∴∠ABD=∠ACD=90°
又 AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命題得證。
該命題有逆定理：
逆定理：在角的內部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。
證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC
∵DB⊥AB，
∴∠DBA=90
同理∴∠DCA=90
在RT△DBA和RT△DCA中，
DB=DC（已知）
AD=AD（公共邊）
∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對應角相等）
角平分線定理定理2
三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線
過點D作DE⊥AB，DF⊥AC
圖2 定理2證明圖
∴DE=DF(定理1)
∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC
過點A作AG⊥BC，垂足為G
∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG
∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
∴AB:AC=BD:CD
故原命題得證。
該命題有逆定理：
如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那麼該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。
證明略。
角平分線定理角平分線長
如右圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC
圖3
由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy
由斯台沃特定理，有w²=(x²v+y²u)/(u+v)-uv
用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v
角平分線定理驗證推導
已知，如圖4，AM為△ABC的角平分線，求證:
角平分線定理面積法
由三角形面積公式，得
圖4 面積法圖
S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分線
∴∠BAM=∠CAM
∴sin∠BAM=sin∠CAM
∴S△ABM:S△ACM=AB:AC
根據：等高底共線，面積比=底長比
可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC
角平分線定理相似法
過C作CN∥AB，交AM的延長線於N
相似法圖
∴∠ABC=∠BCN
又 ∠AMB=∠CMN
∴△ABM∽△NCM
∴AB:NC=BM:CM
∵AM是∠BAC的角平分線
∴∠BAN=∠CAN
又 ∠BAN=∠ANC
∴∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB:AC=MB:MC
（過M作MN∥AB交AC於N也可證明）
角平分線定理正弦定理法
作△ABC的外接圓，AM交圓於D
正弦定理法圖
AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,
AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分線
∴∠BAM=∠CAM
∴sin∠BAM=sin∠CAM
又∠AMB+∠AMC=180°
sin∠AMB=sin∠AMC
∴AB:AC=MB:MC
