角平分线定理

数学定理
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从一个的顶点出发,在角内引出一条射线,把这个角分成两个大小相同的角,则这条射线叫作这个角的角平分线。角平分线定理描述了角平分线的若干性质,如:角平分线上的任意一点到角两边的距离相等;三角形角平分线分对边比例与另两边比例相等。
中文名
角平分线定理
外文名
The angle bisector theorem
所属学科
数学

定理内容

播报
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定理一

角平分线蒸备趋上的任意一点到角两边的距离相等。
如图,
平分线上一点,过点
,作
,则:
角平分线定理一

定理二

三角形角平分乃喇元线分对边比例与另两边比例相等。
如图,
甩厦是
上一点,
的角平分线,则
角平分线定理二

定理一的逆定理

角内到角两边距离相等的点在该碑樱旋角的角平分线上。
如图,若过点
项达于
,作
,有
,那么
平分线上,即
平分
定理一的逆定理

定理二的逆定理

三角形边上某一点分该边比例与另外两边比例相等,则该点与对角顶点的连线是对角的角平分线。如图,若
边上一点
满堡榜民禁多纹浆足
的平分影备线。
定理二的逆定理

定理证明

播报
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定理一

定理一的证明
证明:
由于
的角平分线,故
又由于
,故
于是,在
从而
(全等三角形判据:AAS),故
,得证。

定理二

正弦定理证明
证明:
定理二的证明(正弦定理法)
中,由正弦定理得:
中,由正弦定理得:
由于
,故
。由此得到
得证。
构造平行线证明
定理二的证明(辅助线法)
证明:
如图,过点
的平行线交
,作
的平行线交
于是有
,可得
由平行线还可得四边形
是平行四边形,又由
平分
可得四边形
是菱形,故
。于是可得:
得证。
面积法证明
证明:
由三角形面积公式
可得
又由
是角平分线,得
,所以
另一方面,考虑在三角形中
边上的高为
,则有
,故
综合上述两式,可得
得证。

定理一的逆定理

定理一的逆定理证明
证明:
从而
,即
平分
,得证。

定理二的逆定理

正弦定理证明
定理二逆定理的证明(正弦定理法)
证明:
中,由正弦定理得:
中,由正弦定理得:
,可得
,又由于
,故
,故由
可知
,即
平分
,得证。
构造平行线证明
定理二逆定理得证明(辅助线法)
证明:
过点
的平行线,交
的延长线于点
。那么
则有:
结合条件
即得
,故
。 由
又可得
所以
,即
平分
得证。
利用原定理证明
证明:
根据原定理,
平分
时有
。对于给定的
,将点
视作沿着线段
移动的动点,那么
的值是随着移动而严格递增的,从而可知满足
的点
是唯一的。
所以
平分
,得证。

定理拓展

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定理一的推广

定理一在外角上的推广
外角平分线上任意一点到角两边所在直线的距离相等。
如图,点
的外角平分线上,过点
,作
,则

定理二的推广

三角形外角的平分线与对边延长线相交,外分对边的比例与另两边的比例相等。
定理二在外角上的推广
如图,
的外角平分线与
边所在直线的交点,则
事实上,有下式成立:
此时,称三角形内、外角平分线与对边的交点和对边端点构成调和点列,称
调和分割
调和点列
可以证明:①
的角平分线;②
的外角平分线;③
调和分割
;④
。四者中任选两者作条件,另两者作结论的六个命题均为真命题。 [1]
更强的推广结论
最后,如果
不平分
,也有对应的推广结论:

定理应用

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例1 求证:三角形的三条角平分线交于一点。
三角形的内心
解:令
的角平分线相交于点
,作
。由角平分线定理可得
因而
,由角平分线定理的逆定理可知
的角平分线上,得证。
该交点
称作
的内心。
同样的,三角形的任意一角的内角平分线和另两角的外角平分线也交于同一点,称为三角形的旁心。
不难验证,三角形有三个旁心
三角形的旁心
例2
中,点
边上一点,且
平分
。已知
,求
的长度。
定理应用例二
解:由角平分线定理,得:
,得
由余弦定理,得:
平分
,得
因而有
代入数据得
解得