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內心
(三角形三個內角角平分線交點)
鎖定
內心是三角形角角平分線交點的原理:經圓外一點作圓的兩條切線,這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角(通過全等易證明)。
- 中文名
- 內心
- 外文名
- Incenter
- 解 釋
- 三角形三條內角平分線的交點
- 定 義
- 三角形內切圓的圓心
- 特 點
- 內心到三邊的距離相等
內心詳細釋義
[注意到內心到三邊距離相等(為內切圓半徑),內心定理其實極易證。]
若三邊分別為l1,l2,l3,周長為p,則內心的座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。
內心性質
1、三角形的三個角平分線交於一點,該點即為三角形的內心。
2、三角形的內心與三角形位置關係:現有AI交BC於點D;BI交CA於點E;CI交AB於點F,三角形內接圓分別交BC,CA,AB於X,Y,Z。
(1)IX:IY:IZ=1:1:1
(2)BD:DC=c:b;CE:EA=a:c;AF:FB=b:a
(3)BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)
(4)AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))
(5)△IBC,△ICA,△IAB面積比為a:b:c
3、r=S/p。
4、△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2。
5、∠BOC=90°+∠A/2。
6、點O是平面ABC上任意一點,點O是△ABC內心的必要條件是:
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。
7、點O是平面ABC上任意一點,點O是△ABC內心的充要條件是:
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。
8、△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那麼△ABC內心I的座標是:
[ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)]。
10、內角平分線分三邊長度關係:如圖1:△ABC中,AD是∠A的角平分線,D在BC上,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,d=AD。設R1是△ABD的外接圓半徑,R2是△ACD的外接圓半徑,則有:BD/CD=AB/AC
證明:由正弦定理得
b/sinB=c/sinC,d=2R1sinB=2R2sinC,
∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.
又BD=2R1sinBAD, CD=2R2sinCAD,∠CAD=∠BAD,
∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC
11、內切圓半徑r=
內心證明
在△ABC中
∵ 角平分線上的點到角的兩邊距離相等
∴ 內心距三邊距離都相等
即在三條角平分線的交點處。