FEM

FEM是Finite Element Method的縮寫，譯為有限單元法，其實際應用中往往被稱為有限元分析（FEA），是一個數值方法解偏微分方程。FEM是一種高效能、常用的計算方法，它將連續體離散化為若干個有限大小的單元體的集合，以求解連續體力學問題。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用於以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有着緊密的聯繫）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權餘數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯繫。

基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合．元素（單元）的形狀原則上是任意的．二維問題一般採用三角形單元或矩形單元，三維空間可採用四面體或多面體等．每個單元的頂點稱為節點（或結點）．

進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數

用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：杆繫結構的單元是每一個杆件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是隻包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。有限元法已被用於求解線性和非線性問題，並建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用於計算機輔助製造中。

有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次應用定義在三角區域上的分片連續函數和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題。現代有限單元法的第一個成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣應用於彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，並第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。

FEM的實際應用最先是在20世紀60年代的航空、航天工業上，並很快用在汽車上。最早在汽車上使用有限元法的是德國斯圖加特(Stuttgart)的戴姆勒-克萊斯勒股份公司(Daimler—Chrysler)自行開發的FEM程序ESEM。它比20世紀80年代初採用的計算機輔助設計(CAD)要早得多。當時，FEM用於所有的工程、技術領域，包括天氣預報、醫學，以及在汽車製造領域的發動機、底盤、直至車身碰撞計算(乘用車、商用車動力學計算)。 ^[2] 

近年來，有限元法在塑性加工方面的應用得到了迅速發展。彈性有限元、剛塑性有限元、彈塑性有限元、粘塑性有限元等有關理論及方法的出現，為分析塑性加工中各種水平的問題，其中包括宏觀量、分佈量和微觀量，提供了有力的工具。從理論和方法來看，有限元法比任何其它方法都更為有力。過去，有限元法的應用曾受到汁算機能力的限制，現在隨着計算機的發展和普及，用有限元法解決塑性加工問題就更加受到人們的重視。到目前為止，許多研究者用有限元法對軋製、鍛造、擠、拉拔等各種塑性加工問題進行了研究探討，而且都取得了令人滿意的結果。

但是，應用有限元法研究塑性加工問題，目前尚存在以下幾個問題：

1、有許多研究尚未做到規範化和標準化，並以定型偽成套程序軟件提供給使用部門。

2、為發展使用有限元法，有關邊界條件、本構方程、物理量的數值分析研究都還不夠，因而為達到CAE的使用目標，尚須進行較深入的工作。 ^[3]