平面應力

在力學分析問題過程中，隨處可見平面應力和平面應變的概念分歧，平面應力和平面應變都是起源於簡化空間問題而設定的概念。平面應變：只在平面內有應變，與該面垂直方向的應變可忽略，例如水壩側向水壓問題。具體説來：平面應力是指所有的應力都在一個平面內，如果平面是OXY平面，那麼只有正應力σx，σy，剪應力τxy(它們都在一個平面內)，沒有σz，τyz，τzx。平面應變是指所有的應變都在一個平面內，同樣如果平面是OXY平面，則只有正應變εx，εy和剪應變γxy，而沒有εz，γyz，γzx。舉例説來：平面應變問題比如壓力管道、水壩等，這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，並且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。平面應力問題討論的彈性體為薄板，薄壁厚度遠遠小於結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行於中面面內，並沿厚度方向不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。

在非局部彈性理論框架下對平面應變和平面應力狀態重新界定.首先，分別在其相應簡化假設下推導控制方程，並與經典局部情況進行比較.然後，引入變形協調條件對兩類非局部平面問題的精確性進行討論.其中，對於非局部平面應力狀態，通過應變協調方程的Fourier變換形式來進行研究，使問題得以簡化。 ^[1] 

在非局部彈性理論中，物體中各點對所受外力的響應表現為非局部形式，因此平面應力狀態定義如下:與z方向有關的非局部正應力及剪應力分量t_z=t_xz=t_yz=0，且其餘分量t_x，t_y，t_xy僅與x，y相關而與座標z無關。

本構方程:在局部狀態下，通常通過限制z向的尺寸來保證各局部應力及應變分量與厚度方向的影響無關，使其為一個近似的二維問題，但對於非局部情況，物體內部微觀結構間z方向長程相互作用將通過非局部核函數表現出來，可以證明此時由於非局部核函數的影響，除非局部應力分量t_x，t_y，t_xy外，其它所有不為零的局部應力、應變、位移分量均必與z有關，表現為三維場量。由於非局部核函數的作用非局部平面應力狀態下的控制方程要考慮z方向的影響。 ^[1] 

導致非局部平面應力問題解出現上述不協調性的根本原因，在於控制方程中非局部核函數要考慮z方向長程作用，使得各局部應力分量均與座標z相關，這與平面應力狀態基本假設即各非局部應力分量與z無關相矛盾，最終導致應變協調方程彼此不相容，在基本假設下，得不到適定的精確解，使非局部平面應力問題只能是一個近似問題。綜上所述，此時非局部平面應力問題解的不精確性主要是由於在控制方程中引入非局部效應而引起的，這與經典平面應力問題有着本質上的區別.因此，為保證得到與非局部平面應力狀態前提假設相容的精確解，可對z向尺寸進行限制，使非局部核中z方向的長程相互作用可忽略，則各局部分量均與z無關應變協調方程與局部情況下相同，其Fourier變換形式中由z方向非局部作用導致的不協調現象也將自動消除應變協調方程彼此相容，由非局部效應影響所產生的解的不適定性也將消失.此時非局部平面應力問題和經典理論中平面應力狀態一樣，成為一個二維問題。而由應變協調條件分析可知，由於平面應力問題自身的特點，此時位移解仍具有最高為z平方量級的不精確度，僅對厚度很小的問題可以保證其精度。但考慮到非局部核反映的是物體內部微觀尺度的長程相互作用，如其忽略z方向的影響，説明此時z向的尺寸即使在微觀上也極小，在宏觀上完全可以不計，解的精度完全可以保證。 ^[1] 

分別採用平面應力和平面應變假設條件，對軸對稱拉深成形法蘭區的應力分佈進行了分析比較，兩種情況下的徑向應力計算值相差較小，但周嚮應力計算值相差較大。有限元模擬表明，平面應力條件下得到的解析結果與模擬值非常接近，表明平面應力假設條件比平面應變假設條件更接近於實際情況。在平面應力條件下，建立了軸對稱成形法蘭區起皺失穩條件和圓筒形件破裂失穩條件，導出了臨界壓邊力的計算式 ^[2]  。

對於軸對稱成形平面問題，李敏華利用參數解法進行分析，給出了直接採用數值積分的求解方法，並得到了解析解。這種方法克服了早期學者如Nadai、Millenson、Handelman等給出的需反覆迭代才能得到解析解的方法。將該方法用於衝壓成形問題或其他軸對稱塑性成形問題的分析中 ^[2]  。

尋求法蘭區應力的解析解是進一步分析軸對稱拉深成形問題的基礎。由於拉深過程中法蘭區最外緣的金屬最厚，這樣在其他區域作用的壓邊力和厚度方向作用的力較小，當不考慮摩擦時，法蘭區接近平面應力狀態。

應力分佈有限元模擬值和理論計算值對比，拉深位置R_w/R₀分別為0.950、0.850、0.750，其中徑向應力大於0，周嚮應力小於0 ^[2]  。

因接近凹模口的板坯受到彎曲的影響，故只分析比較相對位置ρ/R₀不小於0.68的變形質點 ^[2]  。

通過對比可知，採用平面應力假設得到的結果與有限元模擬結果非常接近。在平面應力假設條件下，法蘭外緣相對位置R_w/R₀分別取0.950、0.850、0.750時，周嚮應力最大相對誤差分別為6.31%、2.21%、6.59%，徑向應力最大相對誤差分別為0.20%、1.57%、3.89%，最大相對誤差產生在法蘭的內緣。圖2中誤差較小的曲線（徑向）幾乎重合 ^[2]  。

採用平面應變假設與平面應力假設得到的徑向應力差別不大，但周嚮應力相差較大。所以，在對破裂問題進行分析時，可以採用平面應變假設，而在進行壓邊力的計算及起皺失穩的預測時，應儘量採用平面應力假設條件 ^[2]  。

（1）對軸對稱拉深成形問題進行了研究，分析比較了平面應力假設和平面應變假設條件下得到的法蘭區應力分佈情況，結果表明兩種假設條件下得到的徑向應力計算值相差較小，而周嚮應力相差較大 ^[2]  。

（2）平面應力假設條件的分析結果與有限元模擬結果較一致，表明平面應力假設條件更接近於實際情況 ^[2]  。

（3）根據能量法原理，給出了平面應力假設條件下的起皺失穩條件，導出了起皺臨界壓力的計算式。根據破裂穩條件，導出了破裂臨界壓邊力的計算式。對一具體的拉深成形問題繪製了臨界壓邊力與拉深位置的關係曲線 ^[2]  。