剪應變

剪切模量，材料常數，是剪切應力與應變的比值。又稱切邊模量或剛性模，材料的力學性能指標之一。是材料在剪切應力作用下，在彈性變形比例極限範圍內，切應力與切應變的比值。它表徵材料抵抗切應變的能力。模量大，則表示材料的剛性強。剪切模量的倒數稱為剪切柔量，是單位剪切力作用下發生切應變的量度，可表示材料剪切變形的難易程度。切變模量的倒數稱為剪切柔量，是單位剪切力作用下發生切應變的量度，可表示材料剪切形變的難易程度。 ^[1] 

隨着科學技術的不斷髮展和應用領域的日益廣泛，力學已經發展了許多分支學科，如固體力學、彈性力學、塑性力學、粘性力學、材料力學、結構力學、工程力學、岩石力學、流體力學以及土力學等等 。這些力學分支學科的一個非常重要的共同點是 : 只要進行內力分析就必然會涉及到應力 ( 包括正應力和剪應力 ) 。剪應力互等定理是應力分析中經常運用的基本定理之一 ，在力學理論研究和生產實踐中都有舉足輕重的作用。剪應力互等定理在許多力學學科中都有專門的闡述，但有的稱之為剪應力互等定理，有的稱其為剪應力互等定律，還有其它名稱 。儘管不同的文獻對剪應力互等定理的表述不同，其名稱也有差別，但其實質內容卻是完全一致的。通常表述為：兩個相互垂直平面上的剪應力τ和τ ’ 數值相等，而且都指向( 或背離 ) 這兩平面的交線，此關係稱為剪應力互等定理 。剪應力互等定理自建立以來一直沿用至今，是否有人提出過懷疑或修改尚不得而知。

剪應變又稱為角應變、切應變或相對剪切變形。它是力學的基本概念之一，在眾多的力學分支學科中都有直接或間接的應用。剪應變的概念由來已久；在應用力學文獻中一般都有專門的論述，但論述的方式和論述的詳略程度各不相同。通過分析可以發現，這些論述雖然文字表達清楚，但對剪應變概念的內涵還規定得不夠明確。 ^[1] 

通過對比和分析力學各分支學科的有關文獻可以看出，建立剪應力互等定理的方法和過程並不複雜。歸納起來主要有兩種方法。第一種，以單元體在外力作用下處於靜力平衡狀態為前提條件，以力矩平衡原理為依據。其證明過程如下： 以平面應力狀態為例，左、右兩側面上只有剪應力τ，其方向與 y 軸平行，在前、後兩側面上無任何應力。因為單元體處於平衡狀態，由平衡方程Σ Y = 0 可知，單元體左、右兩側面上的內力τ dydz 為大小相等、指向相反的一對力，它們組成一個力偶，其力偶矩為 ( τ dydz) dx；同樣，由ΣΧ =0 可知，單元體上、下兩平面上也有大小相等、指向相反的一對內力τ′ dxdz ，其力偶矩為 (τ′dxdz) dy 。由力矩平衡條件得知，上述兩力偶矩的大小相等而轉向相反 ， 所以( τ dxdz) dx = (τ′dxdz) dy。

上式説明：在兩個相互垂直平面上的剪應力τ和τ ’ 數值相等，並且都指向 ( 或背離 ) 這兩個相互垂直平面的交線，剪應力互等定理由此得證。第二種方法是在求出單向應力狀態下斜截面上的應力之後，再根據彈性力學中三個主應力互相垂直的結論，利用力的疊加原理 ，求出兩個互相垂直截面上的應力。 ^[2] 

第一，如果剪應力互等定理能夠廣泛成立，由兩個相互垂直截面上的剪應力大小相等、指向相反的條件，依據應力大小及方向的對稱性，長方形單元體中的直角只能產生變形，即 x 方向的直線 AB 的偏轉角等於 y 方向的直線的偏轉角，而不會出現偏轉角不相等的變形情況。依此推斷，也不會出現材料力學中描述過的剪切變形情況。這説明剪應力互等定理與材料力學中敍述的剪切變形是矛盾的，不一致的。另外，根據剪應力互等定理得出的推論是：剪應力不可能出現僅在一個方向存在應力的單向剪應力狀態，而只能出現平面和三向兩種剪應力狀態，這與正應力既有單向應力狀態又有平面和三向應力狀態顯然不一致 ，也不合理。

第二，在上述第一種證明方法中將力矩平衡原理運用於內力不恰當。眾所周知，內力是物體內部產生的對外力作用的抵抗力，它隨外力的增大而相應地增大。物體 ( 或單元體 ) 能否處於平衡狀態，只取決於外力是否達到平衡 ，而不在於內力是否達到平衡。內力的作用只是使物體產生相應的變形而已。

第三 ，上述第二種證明方法實際上屬於循環論證，即利用從剪應力互等定理得出的三向主應力相互垂直的結論來證明剪應力互等定理。 ^[2] 

雖然剪應變的概念在不同的應用力學學科中都有闡述，但就其文字表述方式而言卻有明顯的差異，歸納起來主要有兩種：

第一種把剪應變的概念描述為：剪切變形的特點就是由小矩形變為歪斜的平行四邊形，這相當於原來的矩形 ABCD 變為歪斜的平行四邊形，歪斜的角度γ稱為剪應變。這是材料力學中闡述剪應變概念所採用的方式之一。

第二種將剪應變的概念表述為：物體上兩條相互垂直的微小線段，在變形後所夾角度的改變值，稱為該處的剪應變。在應用力學文獻中一般都採用類似的表述。具體的表達方式各不相同，大多數為文字敍述，也有少數用數學公式表示的。另外 ，還可見到與此表述相近但內容略有不同的剪應變概念，那就是把兩條相互垂直的直線所夾角度改變量的一半，稱之為角應變 。

從文字上看 ，上述兩種方式表達的剪應變概念似乎是完全一致的，但仔細分析卻又有所不同。

在第一種描述中，把矩形“歪斜的角度”稱為剪應變，從字面上可以有兩種理解：一是把“歪斜”理解為由矩形中的直角變為平行四邊形中的非直角 ( 鈍角或鋭角)，那麼，“歪斜的角度”也就是直角的改變量γ，這樣看，第一種描述與第二種描述的涵義就是一致的，只不過前者是後者的一種特例 ( 直角只朝一個而不是兩個方向產生歪斜 ) 而已 ; 二是把“歪斜”理解為線段的角度在變形前後產生的改變，即線段在變形後的偏轉，“歪斜的角度”也就是偏轉角γ。從剪應變與剪應力的關係可以清楚地看到，這種描述所反映的是在一個方向存在剪應力的“單向剪應力狀態”下只朝一個方向產生歪斜的剪應變概念。

第二種描述中的剪應變是指直角的改變量。眾所周知，任何一個角的角度變化都是由這個角的兩條邊單獨或共同產生偏轉造成的。有無窮多組α和β值滿足γ為定值的條件，即α和β的值不確定。用幾何關係來説，就是隻要保持四邊形的形狀不變，將其繞固定點任意旋轉都能滿足第二種描述所表達的剪應變概念的內涵。由此看來，該描述方式中只規定了物體變形後的形狀，並沒有規定變形產生的方向，也就是説，剪應變的方向具有不確定性。然而如前所述，剪應力互等定理實際上並不成立。從以上分析可以看出，兩種方式表述的剪應變概念都具有明顯的不確定性或多解性。 ^[3] 

通過前面的討論和分析可以看出，現有的剪應變概念的內涵具有不確定性，因此，必須對其進行修改。大家都知道，剪應變是剪應力作用的結果。剪應變的概念也應當體現剪應變與剪應力的關係。這樣，就可以把剪應變的概念修改為：物體上的微小線段的兩端在該線段的垂直方向 ( 也是剪應力的作用方向 )上的相對位移量 ( 錯動距離)同線段的原長度之比值稱為剪應變。當剪切變形不大時，也可以用線段在變形前後的偏轉角來表示剪應變。

修改以後的新的剪應變概念與原來的剪應變概念的異同點是：原來的第一種描述中的剪應變概念等同於新剪應變概念的單向剪應力狀態 ; 第二種描述中的剪應變概念等同於新剪應變概念的平面( 二向 ) 應力狀態 。即原來的第二種描述中的剪應變等於新概念中兩個方向的剪應變之和。當兩個相互垂直方向的剪應力相等時，新定義的剪應變值只有原定義的一半。原來的剪應變概念所規定的是直角的角度變化，修改後的剪應變概念所規定的是線段的角度變化，兩者在數值上有時相等。 ^[1]