雙生子佯謬

設想有兩個孿生兄弟甲和乙，甲乘飛船作太空旅行，乙留在地面等待甲。甲所乘坐的飛船在極短的時間內加速到速度v（速度v接近光速c）。然後飛船以速度v作勻速直線飛行，飛船飛行很長一段時間後，迅速調頭並繼續以速度v作勻速直線飛行。回到地面時緊急減速、降落，並與一直在地面上的乙會合。

甲只在啓動、調頭、減速降落的三段時間內有加速度，其餘的絕大部分時間都在作勻速直線飛行，處於狹義相對論適用的慣性系。太空飛行期間所度過的時間。則當甲作高速太空旅行，返回時會發現乙比甲變老了。 如果飛船速度非常接近光速c，相對論效應就會非常明顯，如若v = 0.9999c ，則T=70.71τ。即如在這一對孿生兄弟20歲時，甲乘飛船作太空飛行，甲認為飛行時間只有一年，在其返回地面時，甲只有21歲，但他卻發現乙卻成了90多歲的老人了，亦即乙比甲年老了許多。

但是，以上情形還可以換另一個角度來考察。即對於乘坐太空飛船的甲來説，甲在飛船上靜止不動，甲看到乙在極短的時間內朝相反的方向加速到速度v，然後乙以速度v作勻速直線飛行，乙飛行很長一段時間後，迅速調頭並繼續以速度v作勻速直線飛行，在與甲會合時緊急減速。在甲看來，乙只在啓動、調頭、減速的三段時間內有加速度，其餘的絕大部分時間都在作勻速直線飛行、亦處於狹義相對論適用的慣性系。

因此，在甲看來，如果略去乙啓動、調頭、減速這三段時間（因這三段時間相對很短），在乙離開飛船期間，乙所度過的時間τ與甲所度過的時間T也應存在前述關係（狹義相對論一般將相對於靜止系統作勻速直線運動的系統內靜止的鐘所走過的時間記為τ，稱為該系統的原時） 這樣，在甲乙會面時，甲比乙變老了。即如乙作勻速直線飛行的速度為v = 0.9999c ，在乙飛離甲一年後與甲會面時，乙只有21歲，但他卻發現甲卻成了90多歲的老人了，亦即甲比乙年老了許多。

可見，從不同的角度分析其結論是不同的，而且是相互矛盾的。究竟是乙比甲年老了許多還是甲比乙年老了許多？還是兩者都錯了，二人應該一樣年輕？這個命題就叫做“雙生子佯謬”。

1905年10月，德國《物理年鑑》雜誌刊登了一篇《關於運動物體的電動力學》的論文，它宣告了狹義相對論假説的問世。正是這篇看似很普通的論文，建立了全新的時空觀念，並嚮明顯簡單的同時性觀念提出了挑戰。知道由愛因斯坦狹義相對論可以得出運動的物體存在時間膨脹效應。

在1911年4月波隆哲學大會上，法國物理學家P．朗之萬用雙生子實驗來質疑狹義相對論的時間膨脹效應，設想的實驗是這樣的：一對雙胞胎，一個留在地球上，另一個乘坐火箭到太空旅行。飛行速度接近光速，在太空旅行的雙胞胎中的一人回到地球時只不過兩歲，而他的兄弟早已死去了，因為地球上已經過了200年了。

這就是著名的雙生子佯謬。

相對論的各類問題，通常分為兩類，一類是有引力場的，引力場會導致時空彎曲，需要用廣義相對論的理論來分析，另一類沒有引力場的，時空是四維平直時空，稱作閔可夫斯基時空，可以在狹義相對論範疇討論（參考文獻 ^[1]  ，150頁後一段）。雙生子旅行問題，引力場的影響很小，所以可以放到閔可夫斯基時空中討論。相對於旅途來講，人的空間大小可以忽略不計，可以視為閔可夫斯基時空中的一個時空點。閔可夫斯基時空根本出發點是光速不變原理，一切運動學的結論都是從這個原理推出的。一個運動質點在閔可夫斯基時空中劃出的軌跡，稱作這個質點的世界線，軌跡上的每個點稱作這個質點的一個事件（參考文獻 ^[1]  ，133頁，預備知識）。當然閔可夫斯基時空的任何一個時空點也就是事件，可以表示為：

其中c為光速，使用

而不是

做參數，是為了統一為長度單位。

三維歐幾里得空間有一個重要的特徵，就是不管座標系如何改變，只要各個座標系的單位長度是一樣的，因此有更普遍的結論：空間中任意兩個點之間的距離，不會受座標系的選取的影響，因此長度不變性可以稱作三維歐幾里得空間的基本特性。閔可夫斯基時空也存在不變性：對於任何的慣性系，任意兩個事件具有時空間隔不變性 ^[1]  ，這個不變性本質上就是光速不變原理，是光速不變原理數學化後的形式。時空間隔可以用長度單位度量，也可以用時間單位度量，中間差一個光速因子。時空間隔的公式為：

接下來，討論一下生理時鐘問題，生理時鐘和人的生理活動相關，由組成人的物質的生化活動來表徵，很明顯，組成人的物質和人可是做始終具有一樣的運動速度，如同前面所講，可以看做一個時空點，生理活動就如同跟隨時空點變化的時鐘。這個時鐘和人始終在一起，也就是上面公式的後三個平方差項為零。時鐘流逝的時間，很明顯就是時空間隔與光速的比值。稱這個比值為固有時。因此時空間隔不變性也稱作固有時不變性，總結一下固有時就是隨着質點一起運動的時鐘走過的時間，也是人生理活動的時間（參考文獻 ^[1]  137頁，有關於固有時的更多描述）。有了這個時間，就可以討論時間流逝快慢的問題了。為了更方便的討論這個問題，還需要時空圖這個工具。時空圖中應畫上(至少心中明確)某個慣性系的座標軸，這個座標系稱為這個時空圖的基準座標系。由於是時空圖，時間這一維不可或缺，約定把軸畫成豎直向上( 代表該系的時間流逝)。 然而，即使採用立體畫法，平面上最多也只能表現3個座標軸，所以空間座標軸，最多隻能畫兩個，例如x和y，都與t軸正交。當然對於一些簡單的問題，一個空間軸也夠用。雙生子佯謬中誰更老些？因為固有時在一切慣性系都一樣，所以只需要比較最後會面時兩者的固有時，就可以了（參考文獻 ^[1]  138頁）。

為使問題簡化，只討論這種情形，火箭經過極短時間加速到亞光速，飛行一段時間後，用極短時間調頭，又飛行一段時間，用極短時間減速與地球相遇。這樣處理的目的是略去加速和減速造成的影響。在地球參考系中很好討論，火箭始終是動鍾，重逢時甲比乙年輕。在火箭參考系內，地球在勻速過程中是動鍾，時間進程比火箭內慢，但最關鍵的地方是火箭調頭的過程。

在調頭過程中，地球由火箭後方很遠的地方經過極短的時間劃過半個圓周，到達火箭的前方很遠的地方。這是一個"超光速"過程。只是這種超光速與相對論並不矛盾，這種"超光速"並不能傳遞任何信息，不是真正意義上的超光速。如果沒有這個調頭過程，火箭與地球就不能相遇，由於不同的參考系沒有統一的時間，因此無法比較他們的年齡，只有在他們相遇時才可以比較。

火箭調頭後，甲不能直接接受乙的信息，因為信息傳遞需要時間。甲看到的實際過程是在調頭過程中，地球的時間進度猛地加快了。在甲看來，乙先是比甲年輕，接着在掉頭時迅速衰老，返航時，乙又比自己衰老的慢了。重逢時，自己仍比乙年輕。也就是説，相對論不存在邏輯上的矛盾。

注意，這不是基於不同參照系的觀測效果，而是弟弟和哥哥各自度過的固有時間的差異。固有時間可以用各自在閔氏空間中運動軌跡的四維長度除以光速得到，這個四維長度是不依賴於參照系的。

右面的只有一個空間軸𝑥的時空圖可能對理解本題有些幫助，假定哥哥出行到達的最遠點為L，出行去程速度和回程速度都是v;。則弟弟的世界線是沿ADEC的一條直線，哥哥的世界線是折線ABC。為了繪圖方便，圖3中L取成1，v=0.5 c。

令β=v/c，則B點座標為：x =L，ct=L/β；

C點座標為： x =0，ct=2*L/β紅色的雙曲線的曲線方程為：

藍色雙曲線方程為：

由於閔可夫斯基時空的特點，四維線長可以用公式:

來計算。

因此連接A點到紅色的雙曲線上的任何一點的直線段的四維線長，都是相等的（對比歐氏空間，歐氏空間中和一點距離相當的點，是在一個圓周上。而閔氏時空則是在兩條雙曲線上）。也就是從A點開始沿直線段走到紅色雙曲線上任意一點所花費的固有時，也就是線長除以光速都相等。

同樣的道理，藍色雙曲線上的點，沿直線段走到C點所花費的固有時也都相等。因此有AB的固有時等於AD的固有時，BC的固有時等於EC的固有時，而線段AC比AD加上EC還要長出DE一段，所以可以知道ADEC這條路徑比ABC這條路徑耗費的固有時要長。這樣留在地球上的弟弟要比出行的哥哥度過了更長的時間，也就是説，見面時哥哥比弟弟年輕。

選用不同的慣性系作為基準座標系，A、B、C、D、E點，會沿雙曲線移動，因此固有時不變，也就是説在任何參照系看，結果都是一樣的。接下來的幾幅時空圖展現了特點。左邊的圖是把哥哥去程的慣性系作為基準座標系，右邊是把哥哥回程的慣性系作為基準座標系。圖4中AB和圖5中BC為垂直線，説明哥哥相對基準座標系來説是靜止的。

這圖4、圖5中，ADEC依然比ABC長出DE那段長度。圖中這條雙曲線與其對稱軸的交點，只是在基準座標系中看起來有點特殊，事實上，雙曲線上的任一點，都可以找到一個基準座標系，使得它成為這條雙曲線與其對稱軸的交點。因此雙曲線上的點都是平權的。類似的，在最初的那幅時空圖中，D、E分別是紅色雙曲線和藍色雙曲線與其對稱軸的交點，而在圖4中B成了紅色雙曲線與其對稱軸的交點，在圖5中，B成了藍色雙曲線與其對稱軸的交點。有關更復雜的情況，請參考文獻 ^[1]  。

首先讓來看一個例子。假設一家來到了俄國著名的物理學家和天文學家科學家伽莫夫（後移居美國）筆下湯普金斯先生曾經夢遊過的城市，在這座城市裏由於速度極限（光速）很低，所以相對論效應非常顯著。來到這座城市後，進了一家瑞士鐘錶店，每人選了自己喜歡的一塊表並要求營業員把三塊表的時間調成一致。隨後，來到了一家遊樂園，其中一個遊樂項目是乘坐光速飛車，其實飛車的速度並沒有達到光速。我站在起點A處，幫兒子把安全帶繫牢，兒子高興地坐在A點的光速飛車裏。我妻子站在終點B處，A與B之間的距離為L。車馬上要出發了，我下意識地對了一下自己和兒子的表，時間一分一秒都不差。抬頭再看終點處妻子的表，我發現妻子的表比我的錶慢了一些。來不及多想車已經象離弦的箭一樣衝了出去。我突然發現兒子的表越走越慢，當然是相對我的表而言，最後到達終點時與我妻子的表一致了。看來瑞士表的質量也不怎麼樣，我打算玩完回去後把表給退了。在回來的路上我看了一眼妻子和兒子的表，奇怪！怎麼的表顯示的時間分秒不差，我明明看見他們倆的表比我的慢了呀！我把我的發現告訴了我的妻子，她説她也覺得挺奇怪的，但是與我所説的現象稍有些不同。兒子在起點時，她發現我和兒子的手錶都比她的錶慢了，但當兒子乘坐飛車向她駛來時，兒子的表卻變得越來越快，最後到達終點時竟與她的表一致了。這時候兒子也加入了的談話，他告訴了我他的發現，他是這樣描述的，在起點處他發現爸爸的表跟他的表時間是一致的，媽媽的表走得比他的慢，當車運動起來後，爸爸的表變慢了而媽媽的表比原來快了，最後當他到達終點時媽媽的表與他的表又一致了。

從上面這個例子中，看到由於三個人所處的狀態不同，得出的結論也大相徑庭。但都有一個共同的特點，就是每個人都是以他本人的時間為基準作出判斷的。知道光速是有限的，光在空間運行是需要時間的。當所研究的對象涉及到空間大尺度範圍或當物體運動的速度大到可以與光速相提並論時，光通過空間兩點所需的時間就不能不考慮進來，這樣通常在小尺度低速度情況下被認為是同時發生的兩個事件就不能再認為是同時的了。愛因斯坦也正是從時間的同時性入手，提出了狹義相對論。在我們生活的宇宙中，時間是非物質的量，它是為了描述物體運動而人為引進的一個物理概念。

經典物理對時間是這樣定義的“絕對的、真正的和數學的時間自身在流逝着，而且由於其本性而在均勻地，與任何其他外界事物無關地流逝着”。這一定義在研究空間小尺度範圍或低速運動的物體時，無疑是正確的，因為它暗含這樣一個概念即時間的同時性是絕對。但在研究空間大尺度範圍或高速運動的物體時，這一定義是否仍然有效，取決於對時間的同時性是如何定義的，同時還要看空間兩點兩個事件發生的時間是如何記錄的。

假設有兩個完全一樣的鐘被放置在AB兩地。可採用中點對鍾法將兩地的鐘校準。説發生在AB兩地的兩個事件是同時的，如果AB兩地的鐘所指示的時間是一樣的話。這個結論暗含有這樣一個條件即在AB兩地分別有兩個觀察者記錄本地事件發生的時間，然後再將兩個時間進行對比，判斷這兩個事件是否是同時發生的，判斷的結果與AB兩地的位置無關。從這個意義上説時間的同時性是絕對的。再看另一種情況，仍採用同樣的方法將AB兩地的鐘校準。從A點觀察AB兩地同時發生的兩個事件，得到的結論是A地的事件先於B地的事件，相差的時間與兩地之間的距離有關。同理，從B點觀察AB兩地同時發生的兩個事件，得到的結論則是B地的事件先於A地的事件。按照這個結論，時間的同時性又是相對的。所以説時間的同時性是相對的還是絕對的完全取決於時間是如何測量的。狹義相對論所涉及的是後一種情況。

1971年，美國海軍天文台把四台銫原子鐘裝上飛機從華盛頓出發，分別向東和向西作環球飛行。結果發現，向東飛行的銫鐘與停放在該天文台的銫鐘之間讀數相差59納秒，向西飛行時，這一差值為273納秒。雖然在這次試驗中沒有扣除地球引力所造成的影響，但測量結果表明，“雙生兒佯謬”是確實存在的。 ^[2] 

疑問？貌似根據這個實驗結論是不能證明雙生子佯謬的，這個悖論的核心表達是 A > B的同時也存在B > A。

在不懷疑實驗過程的正確性前提下，只出現了A > B 這一種情況，而沒有出現B>A的情況，也沒有解釋根據理論推導出的邏輯謬論跟實際結論之間如何修正來達到一致。

相對論認為世界線A的長度就是留在地球上的兄弟A經歷的時間，B的長度就是做星際旅行的兄弟B經歷的時間，兩條線不一樣長，也就是説，雙胞胎兄弟二人經歷了不同長度的時間。哪一個人經歷的時間長呢?有人會説直線比曲線短，那A比B經歷的時間要短啊。雙生子佯謬不是説B比A年輕嗎?怎麼會反過來呢?其實，並沒有反過來，你之所以認為B線比A線長，是上了歐氏幾何的當。通常用的幾何是歐氏幾何，兩點之間以線段距離為最短。但在相對論中，四維時空的幾何不是歐氏的，而是偽歐氏的。在偽歐氏幾何中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方差，兩點之間以直線距離為最長。所以曲線B比直線A短，B經歷的時間也就比A短。雙胞胎中的星際旅行者經歷的時間比地球上的同胞兄弟經歷的時間短。因此返航會面時，B將比A年輕。雙生子佯謬是真實的效應，它可以使宇航員在有生之年到達非常遙遠的星系。 ^[3] 

運動物體的情況又如何呢？假設有一枚火箭從A點運動到B點。火箭上裝有校對好的時鐘。仍採用中點對鍾法在AB兩點之間A1、A2、A3．．．放置一系列校對好的時鐘，並在A1、A2、A3．．．的每一個位置上都設有一個觀察員記錄火箭經過的時間。一切就緒火箭出發了。在A點的觀察員立刻發現火箭上的鐘變得越來越慢了，時間變慢的速度與火箭的速度有關。而據A1、A2、A3．．．的觀察員報告，火箭在通過他們所在的位置時，火箭上鐘的指示與本地鐘的指示是一樣的。而在B點觀察員則發現，在火箭未出發前，火箭上鐘的指示已經比B點的時間慢了一些，但隨着火箭逐漸接近，火箭上的時鐘卻變得越來越快，當到達B點時竟然與B點的時鐘是一樣的。如果在火箭裏也有一個觀察員，他會得到這樣的結論即當火箭運動起來後，A點的鐘變慢了，B點的鐘變快了而沿途所經過的鐘所指示的時間與火箭上的時間是一致的。在上面的例子中，火箭相對於A和B的運動方向是不同的，所以從A點和B點觀察的結果也應是不同的，相對於A點時間是變慢了，相對於B點時間是變快了。時間是變快了還是變慢了取決於觀察者與被觀察的物體之間的距離是增加還是減少了，變快變慢的速度與兩個物體之間的相對運動速度有關。

推導時間膨脹效應時，一個方便的方法是將測量長度垂直於運動方向，從而將時間膨脹效應孤立起來，避免尺度收縮效應的干擾。推導過程可參見張三慧《大學物理》第二版第一冊227-230頁。

到目前為止，都是在基於光速不變這樣一個前提下討論問題的。光速不變假設是愛因斯坦從邁克爾遜-莫雷實驗的否定結果中得出的推論。在上面的討論中，運動物體的速度V是這樣得到的，在AB兩地分別放置兩個校準好的時鐘，AB兩地之間的距離為L。在A點記錄物體出發的時刻，在B點記錄物體到達的時刻，用兩地之間的距離L除以兩地所記錄的時間差，就得到了運動物體的速度，這樣計算的結果與兩地之間的距離無關。當然還可以用另一種方法，在A點記錄物體發出的時刻，在物體經過B點返回到A點時，記錄物體到達的時刻，用兩倍的距離L除以在A點記錄的時間差，就得到運動物體的速度。這兩種算法的結果是一樣的。如果從A點來觀察運動的物體在一去一回時速度是否是一樣呢？用上面所得到的時間膨脹和時間收縮效應的結論，可以得出，物體在離開A點後，速度是變慢的，而當物體從B點返回時，速度又是變快的，當然這是從A點觀察所得到的結果。

狹義相對論還存在另外一種效應即尺縮效應。可以採用同樣的方法，證明運動物體的長度隨觀察者與運動物體之間的距離的減少，還存在長度伸長的效應。通過以上討論，清楚了，同時性是相對的還是絕對的取決於觀察時間的方法，離開這一點強調同時性是相對的還是絕對的是沒有意義的。即使按照同時性是相對的觀點，時間除了膨脹效應外，還應有收縮的效應，所以説雙生子佯謬本身是不存在的。

設

為慣性系，表示地球，

表示飛船。在

看來，

先加速，再以速度

勻速前進，再減速然後掉頭然後加速返回，然後以

勻速返回，然後減速到達。加速減速的時間可以忽略不計，所以

。

在

看來，

開始在一個引力場中下降，直到速度為

，然後引力場消失以

勻速運行，然後在引力場

作用中減速到0，然後下降直到速度為

，然後引力場消失，以

勻速運行，然後在引力場中減速直到靜止。單考慮勻速部分，

。

但是，在引力場中變換公式為

。

所以只考慮從

到

的減速加速過程。設這個過程時間為

，則

，

距離

等於

，所以

。

所以總時間

。

忽略

可得

。

這裏計算的誤差為b^4或更高階。更加詳細的計算表明T>t總是成立的。以上推導來自 ^[4]  。