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EC

（橢圓曲線(elliptic curve)的縮寫）

橢圓曲線是域上虧格為1的光滑射影曲線。對於特徵不等於2的域，它的仿射方程可以寫成：y^2=x^3+ax^2+bx+c。複數域上的橢圓曲線為虧格為1的黎曼面。Mordell證明了整體域上的橢圓曲線是有限生成交換羣，這是著名的BSD猜想的前提條件。阿貝爾簇是橢圓曲線的高維推廣。

橢圓曲線上的點全體構成一個加法羣，點與點之間的“加法”運算。正因為橢圓曲線存在加法結構，所以它包含了很多重要的數論信息。橢圓曲線和它的雅可比簇是同構的，所以它上面的“加法”結構實際上來自於它的雅可比簇的自然加法結構。

橢圓曲線上的有理點的個數也是人們關心的重要問題，這個問題和著名的Mordell-Weil定理有關。Mordell-Weil定理是説：橢圓曲線上有理點構成的羣是有限生成的。另一方面，橢圓曲線上的整點只有有限多個，這個定理被稱為Siegel定理。

通過以下實例，可以更好的理解上述兩個定理：橢圓曲線

上，僅有16個整點:(-2,3),(-1,4),(2,5),(4,9),(8,23),(43,282),(52,375),(5234,378661)，以及它們關於x軸的對稱點，而其上所有的有理點可以由(-2,3),(2,5)通過羣上的加法生成。

更一般地，整體域上的橢圓曲線的點總構成有限生成交換羣。

Bezout定理告訴我們，兩條光滑橢圓曲線相交於9個點（切點重複計算）。進一步，如果有第三條光滑橢圓曲線經過其中的8個交點，那它必定經過第九個點。這是古典代數幾何中的一個重要的結論。歐拉對此問題也有過考慮。

作為推廣，X.諾特（Noether）曾經得到了更一般的代數曲線交點的類似結論。這個問題和代數曲面上秩2向量叢的半穩定性有着深刻的內在聯繫。談勝利利用秩2向量叢的Bogomolov不等式，將此問題推廣到最一般的情形。

由於橢圓曲線在射影平面中是三次曲線，所以它可以退化為許多特殊的情形：

（1）三條直線；（2）一條直線和一條二次曲線（即圓錐曲線，比如橢圓，雙曲線，拋物線）。

將這些退化情形放到上述的結論中，我們就得到了許多著名的射影幾何中的定理，如帕斯卡定理等等。

模性是指整體域上橢圓曲線的L函數等於某一個自守形式的L函數，這是Langlands綱領的一部分。Wiles在其1995年重要工作中證明了有理數域上的半穩定橢圓曲線是模的，並由此推出了費馬大定理。^[2]

之後Breuil, Conrad, Diamond, Taylor去掉了半穩定限制。^[3]

Drinfeld，Deligne，Zarhin等人證明了函數域上的模性。

在此基礎上衍生出ECC算法，應用於加解密、簽名驗籤等。

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