陳類

有很多處理這個定義的辦法：陳最初使用了微分幾何；在代數拓撲中，陳類是通過同倫理論定義的，該理論提供了把V和一個分類空間（格拉斯曼流形）聯繫起來的映射；還有格羅滕迪克的一種辦法，表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。

直觀地説，陳類和向量叢的截面'所需要的0'的個數相關。

陳類因陳省身而得名，他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。

設π:E→M為復向量叢，纖維為ℂ^k。

令分次環c(E)=c₀(E)⊕c₀(E)⊕...⊕c_k(E)，c_i(E)∈H²ⁱ(M)：

(1)自然性：c(f*E)=f*c(E)；

(2)c_i＞k(E)=0；

(3)惠特尼求和公式：c(E⊕F)=c(E)c(F)；

(4)正規性：c(γ)=1+x。

其中γ為ℂPⁿ上的典範線叢。

則稱c(E)為E的總陳類，c_i(E)為E的第i陳類。 ^[1] 

設π:E→M為復向量叢，纖維為ℂ^k。則其總陳類定義為 ^[1] 

其中𝓕為E的曲率形式。

設A∈𝖚(n)，定義𝖚(n)上不變多項式f₁,...,f_n為det(xI-A)=xⁿ-f₁(A)x^n-1+...+(-1)ⁿf_n(A)。令fⁱ_j(A)=f_j(iA)，𝖚(n)上不變多項式代數P_U(n)由fⁱ₁,fⁱ₂,...,fⁱ_n生成。令gⁱ_j為fⁱ_j的極化，若R為n階復向量叢ξ=π:E→M的曲率張量，

為gⁱ_j在End_k(ξ)*上誘導的平行截面。則ξ的第k陳類為c_k(ξ)∈H^2k(M)，其中第k陳形式c_k為 ^[4] 

設

，定義π:

為π(z,[w])=[w]，則

為重言線叢。記{z₀,...,z_n}為ℂⁿ⁺¹的復座標，令

，則ω為聯絡形式，曲率形式為

。當n=1時， ^[2] 

平凡叢的所有陳類為0。 ^[3] 

若ξ與ξ‘為同構的向量叢，則c(ξ)=c(ξ')。 ^[3] 

若ξ為復n階叢，則e(ξ_ℝ)=c_n(ξ)。 ^[4] 

若ξ為復向量叢，則ξ的陳多項式為的ξ_ℝ斯蒂弗爾-惠特尼多項式模2。 ^[5] 

惠特尼乘積公式

其中

表示

的總陳類 ^[3]  。

給定一個拓撲空間X上的一個復向量叢V，V的陳類是一系列X的上同調類。V的第n個陳類通常記為c_n(V)，是整數係數的X的上同調。

H 中的一個元素。類c₀(V)總是等於1。當V是復d維的叢，則類c_n 在n > d時為0。

例如，若V是一個線叢，則只有在X的第二上同調羣中有一個(第一)陳類。第一陳類實際上是可以從拓撲上為複線叢分類的一個完全不變量。也就是説，存在一個X上的線叢的同構等價類到H。

對於1維以上的復向量叢，陳類不是一個完全不變量。

惠特尼乘積公式

其中

表示

的總陳類 ^[3]  。

給定一個拓撲空間X上的一個復向量叢V，V的陳類是一系列X的上同調類。V的第n個陳類通常記為c_n(V)，是整數係數的X的上同調。

H 中的一個元素。類c₀(V)總是等於1。當V是復d維的叢，則類c_n 在n ＞ d時為0。

例如，若V是一個線叢，則只有在X的第二上同調羣中有一個(第一)陳類。第一陳類實際上是可以從拓撲上為複線叢分類的一個完全不變量。也就是説，存在一個X上的線叢的同構等價類到H。

對於1維以上的復向量叢，陳類不是一個完全不變量。

近複流形的陳類和配邊（cobordism）

陳類的理論導致了近複流形的配邊不變量的研究。

若M是一個複流形，則其切叢是一個復向量叢。M的陳類定義為其切叢的陳類。若M是緊的2d維的，則每個陳類中的2d次單項式可以和M的基本類配對，得到一個整數，稱為M的陳數。

若M′ 是另一個同維度的近複流形，則它和M配邊，當且僅當M′和M陳數相同。

陳類理論有個一般化，其中普通的上同調由一個廣義上同調理論(generalized cohomology theory)所代替。使得這種一般化成為可能的稱為復可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同，但有一個關鍵的不同:計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的(普通)加法而是一個形式化羣定律（formal group law）。