曲率形式

曲率形式(curvature forms)是特徵曲率張量的二次形式。 ^[2] 

令G為一個李羣，記G的李代數為𝖌。設E→B為一個主G叢。令ω表示E上一個埃雷斯曼聯絡（它是一個E上的𝖌值1形式）。

那麼聯絡𝓗的曲率形式就是E上的𝖌值2形式Ω，定義為Ω(b)(x,y)=-ω[X,Y]^v(b)，b∈E，x,y∈T_bE，X,Y為E上水平向量場，滿足 X(b)=x，Y(b)=y。 ^[6] 

等價定義為 ^[4] 

其中H:T_uE→H_uE是由聯絡對應的分割。 ^[5] 

由嘉當結構方程

這裏d表示標準外導數，

是李括號。或者説

曲率形式擁有與聯絡相同的E在結構羣G的自然左作用下不變的性質：

設η:P×𝖌→P為平凡叢，Ω為P的取值於η的微分形式。可等同α∈A(P,η)與π₂∘α:𝖃P×...×𝖃P→𝖌，其中π₂:P×𝖌→𝖌為投影。 ^[6] 

向量叢上的曲率形式 ^[1] 

若

是一個纖維叢，其結構羣為G，我們可以在相伴的主G叢上重複同樣的定義。

若

是一個向量叢則我們可以把

看作是1形式的矩陣，則上面的公式取如下形式：

其中

是楔積。更準確地講，若

和

分別代表

和

的分量（所以每個

是一個通常的1形式而每個

是一個普通的2形式），則

例如，黎曼流形的切叢，我們有

作為結構羣而

是在

中取值的2形式（給定標準正交基，可以視為反對稱矩陣）。在這種情況，

是曲率張量的一種替換表述，也就是在曲率張量的標準表示中，我們有

上式使用了黎曼曲率張量標準記號。

比安基恆等式 ^[3] 

如果

是標架叢上的典範向量值1形式，聯絡形式 ω 的撓率是由結構方程定義的向量值2形式：

這裏D代表外共變導數。

第一比安基恆等式（對於標架叢的有撓率聯絡）取以下形式：

第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立，並有如下形式：